Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

1/Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số lập từ $1,1,2,2,2,3,4,5.$
2/Có bao nhiêu cách bỏ 3 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng vào 4 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 bi ( các bi chỉ khác nhau về màu sắc. )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-11-2022 - 00:51

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu số tự nhiên 4 chữ số lập từ $1,1,2,2,2,3,4,5.$

$\textbf{TH1}$ ($4$ chữ số khác nhau từng đôi một) : Có $C_5^4.4!=5!=120$ số.

$\textbf{TH2}$ (có đúng $1$ chữ số lặp lại $2$ lần) : Có $\frac{C_2^1C_4^2.4!}{2!}=144$ số.

$\textbf{TH3}$ (có $2$ chữ số lặp lại $2$ lần) : Có $\frac{C_2^2.4!}{(2!)^2}=6$ số.

$\textbf{TH4}$ (có $1$ chữ số lặp lại $3$ lần) : Có $C_4^1C_4^1=16$ số.
Đáp án là $120+144+6+16=286$ số.

[Nobodyv3]

1/Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )\left ( 1+x \right )^3\\
&=\frac{x^8}{12}+\frac{2x^7}{3}+\frac{8x^6}{3}+\frac{41x^5}{6}\\
&+\frac{143x^4}{12}+\frac{85x^3}{6}+11x^2+5x+1
\end{align*}$
Suy ra số các số thỏa yêu cầu là
$ \frac{143\cdot4!}{12}=\boldsymbol {286}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-11-2022 - 12:18

[Nobodyv3]

2/ Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x,y,z)&=\left (
(1+x+x^2+x^3) (1+y+y^2+y^3+y^4 ) (1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 )-1 \right)^4\\
&=\sum_{k=0}^{4}(-1)^k\binom{4}{k}\left((1+x+x^2+x^3) (1+y+y^2+y^3+y^4 ) (1+z+z^2+z^3+z^4+z^5 )\right)^k
\end{align*}$
Nhân đây, xin giới thiệu 1 cách "phi truyền thống " để tính hệ số của số hạng trong khai triển .
Ta sẽ tính hệ số của $x^3y^4z^5$. Ta thấy :
$\frac {(1-w^{n+1})^k}{(1-w)^k}=(1-w^{n+1})^k\sum_{m=0}^{\infty }\binom {k-1+m}{m}w^m$ do đó hệ số của $x^n$ là $\binom {k-1+n}{n}.$
Vậy số cách bỏ các viên bi thỏa yêu cầu là :
$\sum _{k=0}^{4}(-1)^k\binom{4}{k}\binom{k-1+3}{3}\binom{k-1+4}{4}\binom{k-1+5}{5}=0-4+720-12600+39200=\boldsymbol {27316}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 12-11-2022 - 21:46