Tính hệ số của...
#1
Đã gửi 15-11-2022 - 07:26
2/ Tính hệ số của $x^{-20} $ trong khai triển của $\frac {3x^3-x}{x^3-x+1}$
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#2
Đã gửi 15-11-2022 - 10:10
Tính tổng các hệ số của $x^{15}, x^{16},...,x^{20}$ trong khai triển $(1+x+ x^{2}+x^{3}+x^{4})^5$
Do tính đối xứng, tổng các hệ số cần tìm cũng chính là tổng các hệ số của $x^0,x^1,x^2,...,x^5$.
$f(x)=(1+x+x^2+...+x^4)^5=(1-x^5)^5(1-x)^{-5}=(-x^{25}+5x^{20}-...-5x^5+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+4}^4x^k$
$\left [ x^0 \right ]f(x)=C_4^4$
$\left [ x^1 \right ]f(x)=C_5^4$
$\left [ x^2 \right ]f(x)=C_6^4$
$\left [ x^3 \right ]f(x)=C_7^4$
$\left [ x^4 \right ]f(x)=C_8^4$
$\left [ x^5 \right ]f(x)=C_9^4-5C_4^4$
Tổng cần tìm là $\left ( C_4^4+C_5^4+C_6^4+...+C_9^4 \right )-5C_4^4=C_{10}^5-5=247$.
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 15-11-2022 - 15:32
Tính hệ số của $x^{-20} $ trong khai triển của $\frac {3x^3-x}{x^3-x+1}$
$\frac{3x^3-x}{x^3-x+1}=3+\frac{2x-3}{x^3-x+1}$
Để tìm hệ số của $x^{-20}$, ta có thể lập một bảng có $3$ cột, $19$ hàng.
Gọi số điền vào hàng $i$, cột $j$ là $a_{i,j}$. Ta điền theo quy tắc sau :
$\left\{\begin{matrix}a_{1,1}=2\\a_{1,2}=-3\\a_{1,3}=0\\a_{k+1,1}=a_{k,2}\\a_{k+1,2}=a_{k,1}+a_{k,3}\\a_{k+1,3}=-a_{k,1} \end{matrix}\right.$
2 -3 0
-3 2 -2
2 -5 3
.......................................................
.......................................................
Hệ số cần tìm chính là $a_{19,1}=a_{18,2}=277$.
- perfectstrong và Nobodyv3 thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Đã gửi 15-11-2022 - 16:07
$$x_1+ x_2+x_3+x_4+ x_5+x_6=20 $$
trong đó $0\leq x_1, x_2,x_3,x_4,x_5 \leq 4; 0\leq x_6 \leq 5$
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Đã gửi 15-11-2022 - 18:40
Bài 1bis: Tính số nghiệm nguyên của
$$x_1+ x_2+x_3+x_4+ x_5+x_6=20 $$
trong đó $0\leq x_1, x_2,x_3,x_4,x_5 \leq 4; 0\leq x_6 \leq 5$
Hàm sinh cho số cách chọn bộ nghiệm phương trình đã cho theo yêu cầu đề bài :
$f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4)^5(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)=\left ( \frac{1-x^5}{1-x} \right )^5\frac{1-x^6}{1-x}=$
$=(1-x^6)(-x^{25}+5x^{20}-10x^{15}+...-5x^5+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^k$
Số nghiệm theo yêu cầu đề bài là $\left [ x^{20} \right ]f(x)=\left [ x^5 \right ]f(x)=C_{10}^5-5C_5^5=247$.
- Nobodyv3 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Đã gửi 15-11-2022 - 21:32
Thực lòng, sau khi xem bài giải 1 và 2, em cảm thấy bất ngờ với cách giải của anh. Cảm ơn anh.
Sau đây là lời giải khác của bài 2:
2/ Đặt $y=\frac{1}{x}$ ta có :
$
\frac{3x^3-x}{x^3-x+1}=\frac{3\left ( \frac{1}{y} \right )^3-\left ( \frac{1}{y} \right )}{\left ( \frac{1}{y} \right )^3-\left ( \frac{1}{y} \right )+1}=\frac{3-y^2}{1-y^2+y^3}$
Lúc này $[x^{-20}]$ trở thành $[y^{20}]:$
$\begin {align*}
\Longrightarrow [y^{20}]\frac{3-y^2}{1-\left ( y^2-y^3 \right )}&=[y^{20}](3-y^2)\sum_{n\geq 0}\left ( y^2-y^3 \right )^n\\
&=[y^{20}](3-y^2)\sum_{n= 0}^{\infty }\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}(-1)^my^{2n+m}\\
&=3\sum_{n=0\atop0\leq 20-2n\leq n}\binom{n}{20-2n}-\sum_{n=0\atop0\leq 18-2n\leq n}\binom{n}{18-2n}\\
&=3\sum_{n=0\atop7\leq n\leq 10}\binom{n}{20-2n}-\sum_{n=0\atop0\leq n\leq 9}\binom{n}{18-2n}\\
&=3\left [ \binom{7}{6}+\binom{8}{4}+\binom{9}{2}+\binom{10}{0}\right]\\
& -\left [ \binom{6}{6}+\binom{7}{4}+\binom{8}{2}+\binom{9}{0} \right ]=\boldsymbol {277}
\end {align*}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-11-2022 - 21:56
- perfectstrong và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh