Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x+2y+3z=60\\
x+y+z\leq 30
\end {cases}$
Edited.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 16-11-2022 - 14:10

[perfectstrong]

Chắc là em muốn nói tới số bộ nghiệm nguyên không âm nhỉ? Anh dùng đếm "trâu bò" trước

\[\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z = 60\left( 1 \right)\\ x + y + z \le 30\left( 2 \right) \end{array} \right.\]

Do (1) nên với mỗi bộ $x,y$ "hợp lý", ta có đúng một cách chọn $z$ thỏa đề. Nên ta chỉ cần quan tâm $x,y$.

Từ (1), ta có $z = 20 - \frac{{x + 2y}}{3}$. Vì $z$ nguyên nên $x \equiv  - 2y \equiv y\left( {\text{mod } 3} \right)$.

Thay vào (2), ta thu được \[2x + y \le 30 \Leftrightarrow x \le 15 - \frac{y}{2}\]

Mặt khác, từ (1), ta biết được $0 \le y \le 30$.

Giờ ta cần đếm số lượng số nguyên không âm $x$ đồng dư với $y$ module 3 mà không vượt quá $15-\frac{y}{2}$.

Ta sẽ cần tới một bổ đề như sau:

Bổ đề 1: Với 3 số nguyên dương $n, m, p$ cho trước thì có $\left\lfloor {\frac{n}{p}} \right\rfloor  + {1_{n\% p \ge m\% p}}$ số nguyên không âm không vượt quá $n$ và đồng dư với $m$ module $p$, trong đó $x \% y$ là số dư khi chia $x$ cho $y$ và $1_X = 1$ nếu mệnh đề $X$ đúng, còn không thì bằng $0$.

Áp dụng bổ đề 1, ta có $\left\lfloor {\frac{{\left\lfloor {15 - \frac{y}{2}} \right\rfloor }}{3}} \right\rfloor  + {1_{n\% p \ge m\% p}}$ cách chọn $x$.

 

Kết luận: Số bộ nghiệm nguyên không âm thỏa đề là:\[\sum\limits_{y = 0}^{30} {\left( {\left\lfloor {\frac{{\left\lfloor {15 - \frac{y}{2}} \right\rfloor }}{3}} \right\rfloor  + {1_{n\% p \ge m\% p}}} \right)}  = 91\]

 

Thử lại: Dùng chút code để kiểm chứng Dưới đây là một ví dụ bằng code Python.

A = [(x, y, z) for y in range(0, 31) for x in range(0, 31) for z in range(0, 21) if x + y + z <= 30 and x + 2*y + 3*z == 60]
B = [(30 - y)//2//3 + (1 if ((30-y)//2) % 3 >= y % 3 else 0) for y in range(0, 31)]
print(len(A) == sum(B))
% True

$A$ là các bộ nghiệm thỏa đề, $B$ là số cách chọn $x$ với mỗi $y$.

 

[chanhquocnghiem]

1/ Tính số nghiệm không âm của
$\begin {cases}
x+2y+3z=60\\
x+y+z\leq 30
\end {cases}$

Gọi $k$ là số nghiệm nguyên không âm của hệ đã cho.

Đặt $m=x+y+z$ ; $n=y+z$ ; $p=z$

$\Rightarrow k$ là số nghiệm nguyên không âm của pt $m+n+p=60$ thỏa mãn 2 điều kiện $p\leqslant n\leqslant m\ (1)$ và $m\leqslant 30\ (2)$

Xét phương trình $m+n+p=60$  $(^*)$

Nếu không ràng buộc các điều kiện $(1)$ và $(2)$ thì pt này có tất cả $C_{62}^{2}$ nghiệm nguyên không âm, trong đó :

+ Có $1$ nghiệm thỏa mãn $m=n=p$

+ Có đúng $30.C_{3}^{1}=90$ nghiệm mà trong $3$ số $m,n,p$ có đúng $2$ số bằng nhau.

+ Có $C_{62}^{2}-1-90=1800$ nghiệm mà trong đó $m,n,p$ khác nhau từng đôi một (suy ra có $\frac{1800}{3!}=300$ cách chọn $m,n,p$ sao cho $p< n< m$)

Nếu tính đến điều kiện $(1)$ thì số nghiệm nguyên không âm của pt $(^*)$ là : $1+30+300=331$. Trong đó :

+ Nếu $m=31$ hoặc $m=32$ thì có $15$ nghiệm.

+ Nếu $m=33$ hoặc $m=34$ thì có $14$ nghiệm.

...............................................................

+ Nếu $m=59$ hoặc $m=60$ thì có $1$ nghiệm.

Vậy nếu tính đến các điều kiện $(1)$ và $(2)$ thì pt $(^*)$ có $331-2(1+2+...+15)=331-16.15=91$ nghiệm nguyên không âm $\Rightarrow$ số nghiệm nguyên không âm của hệ đã cho là $k=91$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-11-2022 - 08:54

[Nobodyv3]

Cách 3: Từ đầu bài suy ra :
$x=60-2y-3z\Longrightarrow
\begin {cases}
2y+3z\leq 60\\
y+2z\geq 30
\end{cases}$Cho nên :
$\begin {align*}
\sum_{y=0}^{30}\left ( \left \lfloor \frac{60-2y}{3} \right \rfloor-\left \lceil \frac{30-y}{2} \right \rceil+1 \right )&=31+\sum_{y=0}^{30}\left \lfloor \frac{2y}{3} \right \rfloor-\sum_{y=0}^{30}\left \lceil \frac{y}{2} \right \rceil\\
&=31+\sum_{k=0}^{10}\left \lfloor \frac{2\cdot 3k}{3} \right \rfloor+\sum_{k=0}^{9}\left \lfloor \frac{2(3k+1)}{3} \right \rfloor+\sum_{k=0}^{9}\left \lfloor \frac{2(3k+2)}{3} \right \rfloor\\
&-\sum_{k=0}^{15}\left \lceil \frac{2k}{2} \right \rceil-\sum_{k=0}^{14}\left \lceil \frac{2k+1}{2} \right \rceil\\
&=31+2\binom{11}{2}+2\binom{10}{2}+2\binom{10}{2}+10-\binom{16}{2}-\binom{15}{2}-15\\
&=31+110+90+90+10-120-105-15\\
&=\boldsymbol {91}
\end{align*}$

Cách 4: đang suy nghĩ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 16-11-2022 - 14:20

[chanhquocnghiem]

1/ Tính số nghiệm nguyên không âm của
$\begin {cases}
x+2y+3z=60\\
x+y+z\leq 30
\end {cases}$
Edited.

Cách 4 (đậm chất hình học và giải tích)

Trong không gian $Oxyz$, lấy các điểm $A(0;0;20)$ ; $B(0;30;0)$ ; $C(60;0;0)$

Lại lấy các điểm $P(0;0;30)$ và $Q(30;0;0)$ $\Rightarrow PQ$ cắt $AC$ tại $M(15;0;15)$

$\Rightarrow (ABC)\cap (BPQ)=BM$

Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ trên $Oyz\Rightarrow N(0;0;15)$

Số nghiệm nguyên không âm của hệ đã cho chính là số điểm nguyên của $\Delta ANB$ tính cả biên. Gọi số điểm nguyên đó là $k$

Trên mp $Oyz$, phương trình của $AB$ và $NB$ là : $(AB):y=-\frac{3}{2}\ z+30$  ;  $(NB):y=-2z+30$

Do đó, số điểm nguyên cần tính (cũng là đáp án cần tìm) là $k=\sum_{z=0}^{15}\left ( \left \lfloor \frac{z}{2} \right \rfloor+1 \right )+\sum_{z=16}^{20}\left ( \left \lfloor \frac{60-3z}{2} \right \rfloor+1 \right )=\sum_{z=0}^{15}\left \lfloor \frac{z+2}{2} \right \rfloor+\sum_{z=16}^{20}\left \lfloor \frac{62-3z}{2} \right \rfloor=72+19=91$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-11-2022 - 17:42