Chủ đề này có 4 trả lời

[Matthew James]

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 16-11-2022 - 20:14

[Matthew James]

Sử dụng bổ đề nếu $xy$ và $x+y$ đều nguyên thì $x,y$ nguyên

[perfectstrong]

Sử dụng bổ đề nếu $xy$ và $x+y$ đều nguyên thì $x,y$ nguyên

$(x,y)=(\sqrt 2;-\sqrt 2)$ thì sao bạn?

[Hoang72]

Cho các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ab}{c}+\frac{b^2c^3}{a}+\frac{c^3a^4}{b}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng ab chia hết cho c.

Bài này thì dùng đa thức nguyên.

Đặt $ x = \frac{ab}{c},y = \frac{b^2c^3}{a},z = \frac{c^3a^4}{b}$ thì $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ẩn $t$: $(t-x)(t-y)(t-z) = 0$.

Dễ thấy vế trái là đa thức bậc $3$, monic và có các hệ số đều nguyên nên mọi nghiệm hữu tỉ của nó đều nguyên.

Mà $x,y,z\in\mathbb Z$ nên $x,y,z$ nguyên.

Vậy $c\mid ab$.

[Matthew James]

$(x,y)=(\sqrt 2;-\sqrt 2)$ thì sao bạn?

Lúc em phát biểu có hơi nhầm tí ạ   . Em xin phát biểu lại bổ đề như sau: Với $x,y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $x+y$ và $xy$ nguyên thì $x,y$ nguyên.