Chủ đề này có 1 trả lời

[Saturina]

Dãy số $(x_n)$ thỏa mãn điều kiện $1<x_1<2$ và $x_{n+1} = 1+ x_n - \dfrac{1}{2}x_n^2, \forall n \in N*$.

Chứng minh rằng : $|x_n - \sqrt{2}| < \dfrac{1}{2^n}, \forall n \ge 3$

[hovutenha]

Sử dụng bảng biến thiên thì ta thu được $\frac{11}{8} < x_{3} < \frac{3}{2}$
Trước hết ta cần chứng minh $\left | x_{3} -\sqrt{2}\right |< \frac{1}{8} \Leftrightarrow \frac{-1}{8} < x_{3}-\sqrt{2}< \frac{1}{8}$
Mà điều này dễ dàng chứng minh được với điều kiện của $x_{3}$ ở trên
Nên điều phải chứng minh đúng với $n=3$

Giả sử điều phải chứng minh đúng tới $n=k$ ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$
Thật vậy ta có:

$\left | x_{k+1}-\sqrt{2} \right |=\left | 1+x_{k}-\frac{1}{2}x_{k}^{2} -\sqrt{2}\right |=\frac{1}{2}\left | (2-x_{k}^{2})+2(x_{k}-\sqrt{2}) \right |=\frac{1}{2}\left | x_{k}-\sqrt{2} \right |\left | \sqrt{2}+x_{k}-2 \right |$
Mà ta có: $\left | \sqrt{2}+x_{k}-2 \right |\leq \left | x_{k}-\sqrt{2} \right |+\left | 2\sqrt{2} -2\right |\leq \frac{1}{2^{k}}+2\sqrt{2}-2\leq \frac{1}{8}+2\sqrt{2}-2< 1$
Suy ra: $\left | x_{k+1} -\sqrt{2}\right |\leq \frac{1}{2}\left | x_{k} -\sqrt{2}\right |\leq \frac{1}{2^{k+1}}$
Theo nguyên lí quy nạp ta có dpcm.