Đến nội dung

Hình ảnh

Xét phương trình $x_1+2x_2+5x_3=n$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/Xét phương trình $x_1+2x_2+5x_3=n$ với số nguyên $n\geq 1,x_i\geq 0.$ Hãy viết biểu thức $h(n)$ tính số bộ nghiệm nguyên thỏa phương trình trên.
2/ Hãy kiểm chứng rằng $19^{93}-13^{99}$là một số nguyên dương chia hết cho $81.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-11-2022 - 23:24

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Nói nôm na, có bao nhiêu cách đổi một số tiền $n$ ngàn đồng bằng các tờ $1000, 2000$ và $5000$ :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Nói nôm na, có bao nhiêu cách đổi một số tiền $n$ ngàn đồng bằng các tờ $1000, 2000$ và $5000$ :D

Theo đề bài, $n$ là số nguyên dương nên em nghĩ là nó không những là số tròn ngàn, tròn trăm, tròn chục...mà còn hơn thế nữa, nói chung là một số nguyên dương bất kỳ...
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Xét phương trình $x_1+2x_2+5x_3=n$ với số nguyên $n\geq 1,x_i\geq 0.$ Hãy viết biểu thức $h(n)$ tính số bộ nghiệm nguyên thỏa phương trình trên.

$h(n)$ cũng chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+2y+5z=n$.

Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,\frac{n}{2},0 \right ),B\left ( 0,0,\frac{n}{5} \right ),C(n,0,0)$.

Hình chiếu của $\Delta ABC$ trên $Oyz$ là $\Delta ABO$. Số bộ nghiệm nguyên $h(n)$ chính là số điểm nguyên của $\Delta ABO$ này

$(AB):y=\frac{n-5z}{2}\Rightarrow h(n)=\sum_{z=0}^{\left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor}\left ( \frac{n-5z}{2}+1 \right )$

Đặt $n=10m+p\ (0\leqslant p\leqslant 9)$.

$\textbf{TH1}$ : $(0\leqslant p\leqslant 4)$

$h(n)=\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor 5m+1-3z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(5m+1)(2m+1)-3m(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=(2m+1)^2+m^2+pm+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor=5m^2+(p+4)m+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+1$

$\textbf{TH2}$ : $(5\leqslant p\leqslant 9)$

$h(n)=\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor 5m+1-3z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(5m+1)(2m+2)-3(m+1)(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$

   $=4m^2+3m-1+m^2+(p+1)m+p=5m^2+(p+4)m+p-1$

Thống nhất kết quả trong cả $2$ trường hợp, ta có :

$h(n)=5\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor^2+(p+4)\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+\sum_{k=1}^{3}\left \lfloor \frac{p}{2k+3} \right \rfloor+1$

(trong đó $p=n-10\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor$)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-11-2022 - 13:01

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Phương pháp hình học này hay ho phết :D Em đang thử truy hồi nhưng vướng mắc ở những nghiệm trùng, nên chưa biết làm sao để triệt tiêu :(


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Hãy kiểm chứng rằng $19^{93}-13^{99}$là một số nguyên dương chia hết cho $81.$

$19^3\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$19^9\equiv 55^3\equiv 1\left({\text{mod}\ 81}\right)$

$\Rightarrow 19^{93}\equiv 1^{10}.55\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$      $(1)$

$13^3\equiv 10\left({\text{mod}\ 81}\right)$

$13^9\equiv 10^3\equiv 28\left({\text{mod}\ 81}\right)$

$13^{27}\equiv 28^3\equiv 1\left({\text{mod}\ 81}\right)$

$\Rightarrow 13^{99}\equiv 1^3.28^2\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$      $(2)$

$(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow 19^{93}-13^{99}\equiv 0\left({\text{mod}\ 81}\right)$ hay $19^{93}-13^{99}\ \vdots\ 81$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
2/ Một lời giải có dính dáng tí xíu đến tổ hợp :
$\begin {align*}
19^{93}=(1+6\cdot3)^{93}&\equiv 1+\binom{93}{1}(6\cdot3)^1+\binom{93}{2}(6\cdot3)^2\\
&\equiv 1+31\cdot2\cdot3^3\\
&\equiv\boldsymbol{ 55\pmod {3^4}}\\
13^{99}=(1+4\cdot3 )^{99}&\equiv 1+\binom{99}{1}(4\cdot3 )^1+\binom{99}{2}(4\cdot3 )^2\\
&\equiv 1+11\cdot4\cdot3^3\\
&\equiv \boldsymbol {55\pmod{3^4}}
\end{align*}$

1/ Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}\\
&=\frac{(1+x+...+x^9)(1+x^2+...+x^8)(1+x^5)}{(1-x^{10})^3}\\
&=(1+x...+x^9)(1+x^2+...+x^8)(1+x^5)\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{10k}
\end {align*}$
Cho nên :
$h(n)=
\begin{cases}
\binom{\frac{n}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n}{10}+1}{2}+2\binom{\frac{n}{10}}{2} \quad\quad\quad\quad n\equiv 0\pmod {10}\\
\binom{\frac{n-1}{10}+2}{2}+8\binom{\frac{n-1}{10}+1}{2}+\binom{\frac{n-1}{10}}{2}\quad\quad\quad n\equiv 1\pmod {10}\\
2\binom{\frac{n-2}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n-2}{10}+1}{2}+\binom{\frac{n-2}{10}}{2}\quad\quad n\equiv 2\pmod {10}\\
2\binom{\frac{n-3}{10}+2}{2}+8\binom{\frac{n-3}{10}+1}{2}\quad \quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 3\pmod {10}\\
3\binom{\frac{n-4}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n-4}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 4\pmod {10}\\
4\binom{\frac{n-5}{10}+2}{2}+6\binom{\frac{n-5}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 5\pmod {10}
\end{cases}$
(còn tiếp...
...tiếp theo )
$h(n)=
\begin {cases}
5\binom{\frac{n-6}{10}+2}{2}+5\binom{\frac{n-6}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 6\pmod {10}\\
6\binom{\frac{n-7}{10}+2}{2}+4\binom{\frac{n-7}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 7\pmod {10}\\
7\binom{\frac{n-8}{10}+2}{2}+3\binom{\frac{n-8}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 8\pmod {10}\\
8\binom{\frac{n-9}{10}+2}{2}+2\binom{\frac{n-9}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 9\pmod {10}\\
\end {cases}$

PS: Mặc dù rất cố gắng, nhưng liên tục bị báo lỗi. Chịu! Mất quá nhiều thì giờ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-03-2024 - 06:25
Latex

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#8
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Làm lại bài này:
Số nghiệm nguyên không âm của pt: $x+2y+5z=n$ là
$S_n=\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac{n-2y}5\right\rfloor} 1 \quad \left(\textsf{hoặc }S_n=\sum_{z=0}^{\left\lfloor\frac n5\right\rfloor}\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac{n-5z}2\right\rfloor} 1\right)$
$S_n=\sum_{y=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor} \left\lfloor\dfrac{n+5-2y}5\right\rfloor$
Đặt $n=10m+r; \;(0\le r \le 9)$
Đặt $y=5p+q;$ với $\,(0\le p\le m-1) \textsf{, và } (0\le q\le 4)$
Khi đó $\max y=5m-1$ còn thiếu đoạn cần lấy tổng $y=5m+t;\;\;\left(0\le t\le \left\lfloor\frac r2\right\rfloor\right) $
\begin{align*}S_n&=\sum_{p=0}^{m-1}\sum_{q=0}^4 \left\lfloor \dfrac{10m+r+5-10p-2q}{5}\right\rfloor +\sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac r2\right\rfloor} \left\lfloor \dfrac{10m+r+5-10m-2t}{5}\right\rfloor \\ &= \sum_{p=0}^{m-1}\sum_{q=0}^4 \left(2m-2p+1+\left\lfloor \dfrac{r-2q}5 \right\rfloor \right)+ \sum_{t=0}^{\left\lfloor\frac r2\right\rfloor} \left\lfloor\dfrac{r+5-2t}5\right\rfloor \\ &= \sum_{p=0}^{m-1} (10m-10p+5+r-6)+S_r\qquad\textsf{(Hermite)}\\ &=\sum_{p=0}^{m-1}(n-1-10p)+S_r \\ &=(n-1)m-10\dfrac{(m-1)m}{2}+\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &=\dfrac{(n-1)(n-r)}{10} -\dfrac{(n-r)(n-10-r)}{20}+\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &= \dfrac{n^2+8n}{20}-\dfrac{r^2+8r}{20} +\{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8\} \\ &=\dfrac{n^2+8n+\{20,11,20,7,12,15,16,15,12,7\}}{20} \\ &=\left\lfloor\dfrac{n^2+8n+20}{20}\right\rfloor \end{align*}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-03-2024 - 10:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh