2/ Hãy kiểm chứng rằng $19^{93}-13^{99}$là một số nguyên dương chia hết cho $81.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-11-2022 - 23:24
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-11-2022 - 23:24
Theo đề bài, $n$ là số nguyên dương nên em nghĩ là nó không những là số tròn ngàn, tròn trăm, tròn chục...mà còn hơn thế nữa, nói chung là một số nguyên dương bất kỳ...Nói nôm na, có bao nhiêu cách đổi một số tiền $n$ ngàn đồng bằng các tờ $1000, 2000$ và $5000$
Xét phương trình $x_1+2x_2+5x_3=n$ với số nguyên $n\geq 1,x_i\geq 0.$ Hãy viết biểu thức $h(n)$ tính số bộ nghiệm nguyên thỏa phương trình trên.
$h(n)$ cũng chính là số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x+2y+5z=n$.
Trong không gian $Oxyz$ lấy các điểm $A\left ( 0,\frac{n}{2},0 \right ),B\left ( 0,0,\frac{n}{5} \right ),C(n,0,0)$.
Hình chiếu của $\Delta ABC$ trên $Oyz$ là $\Delta ABO$. Số bộ nghiệm nguyên $h(n)$ chính là số điểm nguyên của $\Delta ABO$ này
$(AB):y=\frac{n-5z}{2}\Rightarrow h(n)=\sum_{z=0}^{\left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor}\left ( \frac{n-5z}{2}+1 \right )$
Đặt $n=10m+p\ (0\leqslant p\leqslant 9)$.
$\textbf{TH1}$ : $(0\leqslant p\leqslant 4)$
$h(n)=\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor 5m+1-3z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(5m+1)(2m+1)-3m(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$
$=(2m+1)^2+m^2+pm+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor=5m^2+(p+4)m+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+1$
$\textbf{TH2}$ : $(5\leqslant p\leqslant 9)$
$h(n)=\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor 5m+1-3z+\frac{z+p}{2} \right \rfloor=(5m+1)(2m+2)-3(m+1)(2m+1)+\sum_{z=0}^{2m+1}\left \lfloor \frac{z+p}{2} \right \rfloor=$
$=4m^2+3m-1+m^2+(p+1)m+p=5m^2+(p+4)m+p-1$
Thống nhất kết quả trong cả $2$ trường hợp, ta có :
$h(n)=5\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor^2+(p+4)\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{p}{2} \right \rfloor+\sum_{k=1}^{3}\left \lfloor \frac{p}{2k+3} \right \rfloor+1$
(trong đó $p=n-10\left \lfloor \frac{n}{10} \right \rfloor$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-11-2022 - 13:01
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Phương pháp hình học này hay ho phết Em đang thử truy hồi nhưng vướng mắc ở những nghiệm trùng, nên chưa biết làm sao để triệt tiêu
Hãy kiểm chứng rằng $19^{93}-13^{99}$là một số nguyên dương chia hết cho $81.$
$19^3\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$19^9\equiv 55^3\equiv 1\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$\Rightarrow 19^{93}\equiv 1^{10}.55\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$ $(1)$
$13^3\equiv 10\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$13^9\equiv 10^3\equiv 28\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$13^{27}\equiv 28^3\equiv 1\left({\text{mod}\ 81}\right)$
$\Rightarrow 13^{99}\equiv 1^3.28^2\equiv 55\left({\text{mod}\ 81}\right)$ $(2)$
$(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow 19^{93}-13^{99}\equiv 0\left({\text{mod}\ 81}\right)$ hay $19^{93}-13^{99}\ \vdots\ 81$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-03-2024 - 06:25
Latex
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-03-2024 - 10:30
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh