Chủ đề này có 1 trả lời

[tiennuru]

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận thực cấp $n$ x $n$. Giả sử rằng tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_{1},...,t_{n+1}$ sao cho

$C_{i}=A+t_{i}B$, $i=1,...,n+1$,

là lũy linh. Hãy chứng minh rằng khi đó $A$ và $B$ là các ma trận lũy linh.

Câu 2. Cho $a_{0}$ và $d$ là các số thực. Với $j=0,...,n$, đặt $a_{j}=a_{0}+jd$. Cho

$A=\begin{pmatrix} a_{0}&a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ a_{1}&a_{0} &a_{1} &... &a_{n-1} \\ a_{2}&a_{1} &a_{0} &... &a_{n-2} \\ ...&... &... &... &... \\ a_{n}&a_{n-1} &a_{n-2} &... &a_{0} \end{pmatrix}$

Hãy tính định thức của $A$ theo $a_{0}, d$ và $n$.

Câu 3. Cho $A$ là ma trận thực cấp $m$ x $m$ $(m\geq1)$ thỏa mãn $A^{3}=A+I_{m}$, với $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$. Chứng minh rằng $detA>0$.

Câu 4. Tìm tất cả các ma trận thực $A$ cấp $2$ x $2$ sao cho $A^{2}=I_{2}$, với $I_{2}$ là ma trận đơn vị cấp $2$.

Câu 5. Cho bất phương

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$

Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.

Câu 6. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng $(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

[nhungvienkimcuong]

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận thực cấp $n$ x $n$. Giả sử rằng tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_{1},...,t_{n+1}$ sao cho

$C_{i}=A+t_{i}B$, $i=1,...,n+1$,

là lũy linh. Hãy chứng minh rằng khi đó $A$ và $B$ là các ma trận lũy linh.

Đầu tiên thấy ngay vì $C_i$ là ma trận cấp $n$ nên $C_i^n=O$. Do vậy xét khai triển

\[(A+tB)^n=A^n+tD_1+\dots+t^{n-1}D_{n-1}+t^nB^n,\]

trong đó các ma trận $D_i$ không phụ thuộc $t$. 

Với $i,j\in \{1,\dots,n\}$ gọi phần tử ở hàng $i$, cột $j$ của các đa thức $A^n,D_1,\dots,D_{n-1},B^n$ lần lượt là $a,d_1,\dots,d_{n-1},b$. Xét đa thức

\[P(t)=a+d_1t+\dots+d_{n-1}t^{n-1}+bt^n,\]

đa thức này có bậc không quá $n$ và có $n+1$ nghiệm phân biệt $t_i$ nên $P(t)\equiv 0$. Do đó $a=b=0$, dẫn đến $A^n=B^n=O$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận thực cấp $m$ x $m$ $(m\geq1)$ thỏa mãn $A^{3}=A+I_{m}$, với $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$. Chứng minh rằng $detA>0$.

Khai thác giả thiết $A^3=A+I$ ta có

\[A^5=A^3+A^2=(A+I)+A^2=(A^2+A)+I=A^4+I.\]

Do đó $1=\det(A^5-A^4)=(\det A)^4\det(A-I)$, suy ra $\det(A-I)>0$. Ngoài ra

$$\det A=\det(A^3-I)=\det(A-I)\det(A^2+A+I),$$

vậy chỉ cần chứng minh $\det(A^2+A+I)>0$. Gọi $\epsilon$ là nghiệm phức của phương trình $x^2+x+1$ thì $A^2+A+I=B\cdot \overline{B}$ với $B=A+\epsilon I$, suy ra

\[\det(A^2+A+I)=\det B\cdot \det\overline{B}=|\det B|^2>0.\]

 

Câu 6. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng $(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Gọi $x_1,x_2,\dots,x_n$ là các nghiệm của đa thức $P$ thì

\[\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-x_i},\quad \frac{P''(x)}{P'(x)}=\sum_{i\neq j}\frac{2}{(x-x_i)(x-x_j)}.\]

Cần chứng minh

\[(n-1)\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-x_i} \right )^2\ge  n\sum_{i\neq j}\frac{2}{(x-x_i)(x-x_j)}\iff \sum_{i\neq j}\left(\frac{1}{x-x_i}-\frac{1}{x-x_j} \right )^2\ge 0.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-11-2022 - 14:46