Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

$(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 tiennuru

tiennuru

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 22-11-2022 - 10:47

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận thực cấp $n$ x $n$. Giả sử rằng tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_{1},...,t_{n+1}$ sao cho

$C_{i}=A+t_{i}B$, $i=1,...,n+1$,

là lũy linh. Hãy chứng minh rằng khi đó $A$ và $B$ là các ma trận lũy linh.

Câu 2. Cho $a_{0}$ và $d$ là các số thực. Với $j=0,...,n$, đặt $a_{j}=a_{0}+jd$. Cho

$A=\begin{pmatrix} a_{0}&a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ a_{1}&a_{0} &a_{1} &... &a_{n-1} \\ a_{2}&a_{1} &a_{0} &... &a_{n-2} \\ ...&... &... &... &... \\ a_{n}&a_{n-1} &a_{n-2} &... &a_{0} \end{pmatrix}$

Hãy tính định thức của $A$ theo $a_{0}, d$ và $n$.

Câu 3. Cho $A$ là ma trận thực cấp $m$ x $m$ $(m\geq1)$ thỏa mãn $A^{3}=A+I_{m}$, với $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$. Chứng minh rằng $detA>0$.

Câu 4. Tìm tất cả các ma trận thực $A$ cấp $2$ x $2$ sao cho $A^{2}=I_{2}$, với $I_{2}$ là ma trận đơn vị cấp $2$.

Câu 5. Cho bất phương

$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}>2015$

Hãy tìm tổng độ dài các khoảng nghiệm trên trục số.

Câu 6. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng $(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 586 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 22-11-2022 - 14:43

Câu 1. Cho $A$ và $B$ là hai ma trận thực cấp $n$ x $n$. Giả sử rằng tồn tại $n+1$ số thực phân biệt $t_{1},...,t_{n+1}$ sao cho

$C_{i}=A+t_{i}B$, $i=1,...,n+1$,

là lũy linh. Hãy chứng minh rằng khi đó $A$ và $B$ là các ma trận lũy linh.

Đầu tiên thấy ngay vì $C_i$ là ma trận cấp $n$ nên $C_i^n=O$. Do vậy xét khai triển

\[(A+tB)^n=A^n+tD_1+\dots+t^{n-1}D_{n-1}+t^nB^n,\]

trong đó các ma trận $D_i$ không phụ thuộc $t$. 

Với $i,j\in \{1,\dots,n\}$ gọi phần tử ở hàng $i$, cột $j$ của các đa thức $A^n,D_1,\dots,D_{n-1},B^n$ lần lượt là $a,d_1,\dots,d_{n-1},b$. Xét đa thức

\[P(t)=a+d_1t+\dots+d_{n-1}t^{n-1}+bt^n,\]

đa thức này có bậc không quá $n$ và có $n+1$ nghiệm phân biệt $t_i$ nên $P(t)\equiv 0$. Do đó $a=b=0$, dẫn đến $A^n=B^n=O$.

 

Câu 3. Cho $A$ là ma trận thực cấp $m$ x $m$ $(m\geq1)$ thỏa mãn $A^{3}=A+I_{m}$, với $I_{m}$ là ma trận đơn vị cấp $m$. Chứng minh rằng $detA>0$.

Khai thác giả thiết $A^3=A+I$ ta có

\[A^5=A^3+A^2=(A+I)+A^2=(A^2+A)+I=A^4+I.\]

Do đó $1=\det(A^5-A^4)=(\det A)^4\det(A-I)$, suy ra $\det(A-I)>0$. Ngoài ra

$$\det A=\det(A^3-I)=\det(A-I)\det(A^2+A+I),$$

vậy chỉ cần chứng minh $\det(A^2+A+I)>0$. Gọi $\epsilon$ là nghiệm phức của phương trình $x^2+x+1$ thì $A^2+A+I=B\cdot \overline{B}$ với $B=A+\epsilon I$, suy ra

\[\det(A^2+A+I)=\det B\cdot \det\overline{B}=|\det B|^2>0.\]

 

Câu 6. Cho $P(x)$ là đa thức bậc $n$ với các hệ số thực và chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng $(n-1)({P}'(x))^{2}\geq nP(x){P}''(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Gọi $x_1,x_2,\dots,x_n$ là các nghiệm của đa thức $P$ thì

\[\frac{P'(x)}{P(x)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-x_i},\quad \frac{P''(x)}{P'(x)}=\sum_{i\neq j}\frac{2}{(x-x_i)(x-x_j)}.\]

Cần chứng minh

\[(n-1)\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-x_i} \right )^2\ge  n\sum_{i\neq j}\frac{2}{(x-x_i)(x-x_j)}\iff \sum_{i\neq j}\left(\frac{1}{x-x_i}-\frac{1}{x-x_j} \right )^2\ge 0.\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 22-11-2022 - 14:46

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh