Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Có bao nhiêu từ có 6 chữ cái được lập từ "$TOANHOCTUOITRE$"


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 23-11-2022 - 15:49

1/ Từ "$TOANHOCTUOITRE$" lập được bao nhiêu từ có 6 chữ cái mà trong đó không có từ con "$TIA$".
2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc.
3/ Tính
$$S=\frac {7}{13}+\frac {77}{13^2}+\frac {777}{13^3}+...$$
4/ Có bao nhiêu số $0$ khi viết các số từ 1 đến 243 theo cơ số 3.
Added. Edited.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 10:44

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 23-11-2022 - 21:48

1/ Từ "$TOANHOCTUOITRE$" lập được bao nhiêu từ có 6 chữ cái mà trong đó không có từ con "$TIA$".

Gọi $M$ là số từ có $6$ chữ cái lập được từ "$TOANHOCTUOITRE$" và $N$ là số từ có từ con "$TIA$" trong số đó

a) Tính $M$ :

 + $6$ chữ cái khác nhau từng đôi một : Có $P_{10}^6=151200$ từ.

 + Có đúng $1$ chữ cái xuất hiện $2$ lần (các chữ còn lại đôi một khác nhau) : Có $2C_6^2P_9^4=90720$ từ.

 + Có đúng $1$ chữ cái xuất hiện $3$ lần (các chữ còn lại đôi một khác nhau) : Có $2C_6^3P_9^3=20160$ từ.

 + Các chữ cái $T$ và $O$ đều xuất hiện $2$ lần : Có $C_6^2C_4^2P_8^2=5040$ từ.

 + Một chữ cái xuất hiện $3$ lần và một chữ cái xuất hiện $2$ lần : Có $2.C_6^3C_3^2.8=960$ từ.

 + $T$ và $O$ đều xuất hiện $3$ lần : Có $C_6^3=20$ từ.

    $\Rightarrow M=268100$ từ.

b) Tính $N$ :

 + Chọn $3$ vị trí liên tiếp để điền "$TIA$" : $4$ cách.

 + Điền thêm $3$ chữ cái vào $3$ vị trí còn lại :

    - Nếu $3$ chữ cái đó đôi một khác nhau : $P_8^3=336$ cách.

    - Nếu trong đó có đúng $2$ chữ cái giống nhau : $2.C_3^2.7=42$ cách.

    - Nếu $3$ chữ cái điền thêm giống nhau : $1$ cách.

    $\Rightarrow N=4(336+42+1)=1516$ từ.

 

Đáp án là $M-N=266584$ từ.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 24-11-2022 - 00:49

1/ Ta có hàm sinh :
$f(x)=(1+x)^8\left(  1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!} \right) ^2\\
\Longrightarrow \left [\frac {x^6}{6!}\right ]f(x)=268100$
Hàm sinh cho các từ có 6 chữ cái có chứa từ con "$TIA$":
$g(x)=x(1+x)^6(1+x+\frac {x^2}{2!})(1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!} )\\
\Longrightarrow \left [\frac {x^4}{4!}\right ]g(x)=1516$
Số các từ thỏa yêu cầu là :
$268100-1516=\boldsymbol {266584}$
HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-11-2022 - 08:52

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc và hộp có thể không có viên bi nào.
3/ Tính
$$S=\frac {7}{13}+\frac {77}{13^2}+\frac {777}{13^3}+...$$

2) "Trong mỗi hộp, số bi đỏ phải lớn hơn số bi xanh" mà "có thể có hộp không có viên bi nào" (tức là số bi đỏ và số bi xanh đều bằng $0$). Hai cái này nó mâu thuẫn nhau chứ nhỉ ?

 

3) Ta có thể viết :

   $S=\left ( \frac{7}{13}+\frac{70}{13^2}+\frac{700}{13^3}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^2}+\frac{70}{13^3}+\frac{700}{13^4}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^3}+\frac{70}{13^4}+\frac{700}{13^5}+... \right )+...$

    $=\frac{\frac{7}{13}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^2}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^3}}{1-\frac{10}{13}}+...=\frac{7}{3}+\frac{7}{3.13}+\frac{7}{3.13^2}+...=\frac{\frac{7}{3}}{1-\frac{1}{13}}=\frac{91}{36}$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-11-2022 - 10:32

4/ Có bao nhiêu số $0$ khi viết các số từ 1 đến 243 theo cơ số 3.

Giả sử số tự nhiên $n$ (từ $1$ đến $243$) viết theo cơ số $3$ có dạng $\overline{abcdef}$ (dĩ nhiên ta không đếm những chữ số $0$ ngoài cùng bên trái). Nhận xét rằng :

- Cứ $3$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{f}$ $1$ lần $\Rightarrow$ có $81$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{f}$

- Từ $n=10$, cứ $3^2$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{e}$ $3$ lần $\Rightarrow$ có $\frac{3.(243-9)}{3^2}+1=79$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{e}$

- Từ $n=28$, cứ $3^3$ số tự nhiên liên tiếp thì chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{d}$ $3^2$ lần $\Rightarrow$ có $\frac{3^2.(243-27)}{3^3}+1=73$ chữ số $0$ xuất hiện ở vị trí $\overline{d}$

- ........................................................................

Vậy đáp án là $\left ( \frac{3^5-3}{3}+1 \right )+\left ( \frac{3^5-3^2}{3}+1 \right )+\left ( \frac{3^5-3^3}{3}+1 \right )+...+\left ( \frac{3^5-3^5}{3}+1 \right )$

    $=5.3^4-(1+3+3^2+...+3^4)+5=5.3^4-\frac{3^5-1}{3-1}+5=289$
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-11-2022 - 10:33

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 24-11-2022 - 10:45

2) "Trong mỗi hộp, số bi đỏ phải lớn hơn số bi xanh" mà "có thể có hộp không có viên bi nào" (tức là số bi đỏ và số bi xanh đều bằng $0$). Hai cái này nó mâu thuẫn nhau chứ nhỉ ?

3) Ta có thể viết :
$S=\left ( \frac{7}{13}+\frac{70}{13^2}+\frac{700}{13^3}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^2}+\frac{70}{13^3}+\frac{700}{13^4}+... \right )+\left ( \frac{7}{13^3}+\frac{70}{13^4}+\frac{700}{13^5}+... \right )+...$
$=\frac{\frac{7}{13}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^2}}{1-\frac{10}{13}}+\frac{\frac{7}{13^3}}{1-\frac{10}{13}}+...=\frac{7}{3}+\frac{7}{3.13}+\frac{7}{3.13^2}+...=\frac{\frac{7}{3}}{1-\frac{1}{13}}=\frac{91}{36}$.

2/ Anh có lý. Đã sửa.
3/Cách khác, Ta thấy :
$\underbrace{ 77\cdots7 }_{n \text{ lần}}=7\cdot11\cdots1=7\cdot\frac{10^n-1}{9}$
nên :
$S=\frac{7}{9}  \underbrace{\left ( \frac{10}{13}+\frac{10^2}{13^2}+...\right ) }_{\text{A}} -\frac{7}{9}\underbrace{ \left ( \frac{1}{13}+\frac{1}{13^2}+... \right ) }_{\text{B}}$
mà :
$A=\frac{10/13}{1-10/13}=\frac{10}{3}$ và $B=\frac{1/13}{1-1/13}=\frac{1}{12}$
Do đó :
$S=\frac{7}{9}\left ( \frac{10}{3}-\frac{1}{12} \right )=\frac{273}{108}=\boldsymbol {\frac{91}{36}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 12:45

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#7 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 24-11-2022 - 14:33

4/ Ta thấy $243=100000_3$ và xét tất cả các số tam phân 5 chữ số từ $00000_3$ đến $22222_3$ thì nếu số $0$ xuất hiện hàng thứ i (đó là các hàng $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4$) thì có $3^4=81$ khả năng cho các chữ số khác, do đó sơ bộ ta có $5\cdot81=405$ số $0$. Ta phải trừ đi: 5 (của số $00000$) và các số $0$ đứng đầu : $4\cdot2, 3\cdot6, 2\cdot18, 1\cdot54$ và cộng 5 số $0$ của số $100000_3$ cụ thể là :
$405-5-4\cdot2-3\cdot6-2\cdot18-1\cdot54+5=\boldsymbol {289}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 24-11-2022 - 14:39

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2188 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-11-2022 - 15:44

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 18 bi đỏ và 11 bi xanh vào 4 hộp khác nhau sao cho trong mỗi hộp số bi đỏ lớn hơn số bi xanh, biết rằng các bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Đánh số các hộp và gọi $a_i$, $b_i$ lần lượt là số bi đỏ và bi xanh trong hộp thứ $i$.

Đặt $d_i=a_i-b_i\Rightarrow b_1+b_2+b_3+b_4=11$ $(1)$ và $d_1+d_2+d_3+d_4=7$ $(2)$

(với $b_i\geqslant 0$ và $d_i\geqslant 1$)

Phương trình $(1)$ có $C_{14}^3=364$ bộ nghiệm nguyên không âm.

Phương trình $(2)$ có $C_6^3=20$ bộ nghiệm nguyên dương.

$\Rightarrow$ Số cách bỏ bi vào các hộp thỏa mãn yêu cầu đề bài là $364.20=7280$ cách.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





5 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 5 khách, 0 thành viên ẩn danh