Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math04

Math04

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Đã gửi 23-11-2022 - 22:26

Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 603 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 13-12-2022 - 21:02

Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.

Với đẳng thức

\[P_n'(x)-P_{n-1}'(x)=3P_n^2(x)P_n'(x)+(P_{n-1}'(x)-P_{n-2}'(x)),\]

chứng minh được $P_n'(x)>P_{n-1}'(x)>0$ với mọi $n>1$, như vậy hàm $P_n$ đồng biến. Vì $\deg(P_n)=3^{n-1}$ lẻ nên hàm này phải có nghiệm thực và nghiệm này là duy nhất. Ngoài ra với đẳng thức

\[P_n(x)-P_{n-1}(x)=P_n^3(x)+(P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x))+2022,\]

chứng minh được $P_n(x)>P_{n-1}(x)$, dẫn đến $P_n(0)>P_{n-1}(0)>0$ với mọi $n>1$.

Vậy với mỗi $n>1$ thì đa thức $P_n$ chỉ có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó âm.


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh