Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.
Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.
Bắt đầu bởi Math04, 23-11-2022 - 22:26
#2
Đã gửi 13-12-2022 - 21:02
nhungvienkimcuong
-
- Thành viên
-
- 643 Bài viết
Thiếu úy
Cho dãy đa thức: $\left\{\begin{matrix} P_{0}(x)=0,P_{1}(x)=x & & \\ P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^3+2P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x)+2022 & & \end{matrix}\right.$ Xác định số nghiệm âm và số nghiệm dương theo $n$ của $P_{n}(x)$.
Với đẳng thức
\[P_n'(x)-P_{n-1}'(x)=3P_n^2(x)P_n'(x)+(P_{n-1}'(x)-P_{n-2}'(x)),\]
chứng minh được $P_n'(x)>P_{n-1}'(x)>0$ với mọi $n>1$, như vậy hàm $P_n$ đồng biến. Vì $\deg(P_n)=3^{n-1}$ lẻ nên hàm này phải có nghiệm thực và nghiệm này là duy nhất. Ngoài ra với đẳng thức
\[P_n(x)-P_{n-1}(x)=P_n^3(x)+(P_{n-1}(x)-P_{n-2}(x))+2022,\]
chứng minh được $P_n(x)>P_{n-1}(x)$, dẫn đến $P_n(0)>P_{n-1}(0)>0$ với mọi $n>1$.
Vậy với mỗi $n>1$ thì đa thức $P_n$ chỉ có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó âm.
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
