Cho số nguyên dương $n\geq 2$ và $n$ số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Chứng minh tồn tại $k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ sao cho:
$|(a_{1}+...+a_{k})-(a_{k+1}+...+a_{n})| \leq \underset{1 \leq i \leq n}{max}|a_{i}|$.
Lời giải Hoang72, 24-11-2022 - 17:12
Với mỗi $k\in\{1,2,...,n\}$, đặt $S_k = (a_1+a_2+...+a_k) - (a_{k+1} + ... + a_n)$.
Đặt $L = \underset{1\leq i\leq n}{\max} |a_i|$.
Xét các trường hợp:
$\bullet$ Tồn tại $i\in \{1;2;...;n-1\}$ sao cho $S_iS_{i+1}\leq 0$: Khi đó $|S_i| + |S_{i+1}| = |S_{i+1} - S_{i}| = |2a_{k+1}| \leq 2L$.
Suy ra $|S_i|\leq L$ hoặc $|S_{i+1}| \leq L$.
$\bullet$ $S_1,S_2,...,S_n$ cùng dấu: Khi đó $|S_1|+|S_n| = |2a_1| \leq 2L$.
Suy ra $|S_1|\leq L$ hoặc $|S_n|\leq L$.
Ta có đpcm.
Đi đến bài viết »Cho số nguyên dương $n\geq 2$ và $n$ số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Chứng minh tồn tại $k \in \left \{ 1,2,...,n \right \}$ sao cho:
$|(a_{1}+...+a_{k})-(a_{k+1}+...+a_{n})| \leq \underset{1 \leq i \leq n}{max}|a_{i}|$.
Với mỗi $k\in\{1,2,...,n\}$, đặt $S_k = (a_1+a_2+...+a_k) - (a_{k+1} + ... + a_n)$.
Đặt $L = \underset{1\leq i\leq n}{\max} |a_i|$.
Xét các trường hợp:
$\bullet$ Tồn tại $i\in \{1;2;...;n-1\}$ sao cho $S_iS_{i+1}\leq 0$: Khi đó $|S_i| + |S_{i+1}| = |S_{i+1} - S_{i}| = |2a_{k+1}| \leq 2L$.
Suy ra $|S_i|\leq L$ hoặc $|S_{i+1}| \leq L$.
$\bullet$ $S_1,S_2,...,S_n$ cùng dấu: Khi đó $|S_1|+|S_n| = |2a_1| \leq 2L$.
Suy ra $|S_1|\leq L$ hoặc $|S_n|\leq L$.
Ta có đpcm.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh