Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết
1/Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất một chữ số 6 và chia hết cho 3.
2/ Từ các chữ cái $A,B,C,D,E$ hỏi có bao nhiêu xâu 8 chữ cái được lập thành mà trong đó mỗi chữ cái xuất hiện ít nhất một lần.
3/ Tính tổng các số 5 chữ số được lập từ $1,1,2,3,3,4,4,4,5,6.$

[Extra] Số là hàng xóm của mình, chú B. mưu sinh bằng nghề bán trái cây dạo. Một hôm, chú đi bán khi trong giỏ có 30 trái thanh long gồm 10 trái ruột đỏ và 20 trái ruột trắng.
Đến trưa, thì bán hết hàng. Khi về, đi ngang qua nhà lúc mình đang ngồi gõ máy tính, hình như là thấy ngứa mắt ( mình đâu có chọc ghẹo gì chú ấy đâu!) thế mà chú cắc cớ hỏi :" Ê, thằng nhỏ, nếu theo trình tự số trái cây tao đã bán mà được phân thành từng nhóm 3 trái một thì xác suất để không có nhóm nào là 3 trái thanh long ruột đỏ là bao nhiêu vậy hả mậy? "
Nào, mời các anh, chị và các bạn trả lời hộ mình nhé!
Added.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 01:15

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

1/Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất một chữ số 6 và chia hết cho 3.

Gọi $A=\left \{ 0,3,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,4,7 \right \}$ ; $C=\left \{ 2,5,8 \right \}$

Gọi $M$ là số số tự nhiên có $5$ chữ số chia hết cho $3$ mà không có chữ số $6$.

Ta tính $M$ như sau :

+ Cả $5$ chữ số thuộc $A$ : Có $2.3^4=162$ số.

+ $2$ chữ số thuộc $A$, $3$ chữ số thuộc $B$ : Có $2.4.3^4+C_4^2.3^5=2106$ số.

+ $2$ chữ số thuộc $A$, $3$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.4.3^4+C_4^2.3^5=2106$ số.

+ $4$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $C$ : Có $5.3^5=1215$ số.

+ $1$ chữ số thuộc $B$, $4$ chữ số thuộc $C$ : Có $5.3^5=1215$ số.

+ $3$ chữ số thuộc $A$, $1$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.4.3.3^4+C_4^3C_2^1.3^5=3888$ số.
+ $1$ chữ số thuộc $A$, $2$ chữ số thuộc $B$, $2$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.C_4^2.3^4+4.C_4^2.3^5=6804$ số.

$\Rightarrow M=17496$

Vậy đáp án là $\frac{90000}{3}-M=12504$ số.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-11-2022 - 23:05

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết
- Thiệt phục anh sát đất!
1/ Trước hết, ta đếm các số có 5 chữ số không có chữ số 6 và chia hết cho 3.
Giả sử số 5 chữ số này là $10a+b$ và $ 0\leq b\leq 9$.
Nếu $ a\equiv 0\pmod3 $ thì b có 3 lựa chọn : 0, 3 hoặc 9.
Nếu $a\equiv 1\pmod3 $ hoặc $ a\equiv 2\pmod3$ thì b cũng có 3 lựa chọn.
Do đó số các số 5 chữ số không có chữ số 6 chia hết cho 3 chính là số các số có 4 chữ số không có chữ số 6 nhân cho 3 cụ thể là :
$8\cdot9\cdot9\cdot9\cdot3=17496.$
Số các số có 5 chữ số chia hết cho 3 là :
$\frac {1}{3}(99999-9999)=30000$
Như vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$30000-17496=\boldsymbol {12504}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 01:06

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

2/ Từ các chữ cái $A,B,C,D,E$ hỏi có bao nhiêu xâu 8 chữ cái được lập thành mà trong đó mỗi chữ cái xuất hiện ít nhất một lần.

+ Có $3$ chữ cái xuất hiện $2$ lần $\rightarrow C_5^3.\frac{8!}{(2!)^3}=10.7!=50400$ xâu.

+ Có $1$ chữ cái xuất hiện $3$ lần, $1$ chữ cái xuất hiện $2$ lần $\rightarrow 5.4.\frac{8!}{3!2!}=67200$ xâu.

+ Có $1$ chữ cái xuất hiện $4$ lần $\rightarrow 5.\frac{8!}{4!}=8400$ xâu.

$\Rightarrow$ đáp án là $50400+67200+8400=126000$ xâu.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết
- Đúng là chuyên gia casework!
2/ Hoặc là :
Tính hệ số của số hạng chứa  $\frac {x^8}{8!}$ trong khai triển hàm sinh :
$\left[\frac {x^8}{8!}\right ]f(x)=\left [\frac {x^8}{8!}\right ]\left (x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!}\right )^5$
<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

3/ Tính tổng các số 5 chữ số được lập từ $1,1,2,3,3,4,4,4,5,6.$

$\textbf{TH1}$ : $5$ chữ số khác nhau từng đôi một.

 $S_1=24.11111.(15+16+17+18+19+20)=27999720$

$\textbf{TH2}$ : Có đúng $2$ chữ số giống nhau, $3$ chữ số còn lại khác nhau từng đôi một.

 $S_2=\left [ 24.(1+3+4).C_5^3+12.6.(3.21-1-3-4) \right ].11111=65332680$

$\textbf{TH3}$ : Có $2$ chữ số xuất hiện $2$ lần.

 $S_3=\left [ 12.2.(1+3+4).C_4^1+6.(3.21-2.1-2.3-2.4) \right ].11111=11666550$

$\textbf{TH4}$ : Có một chữ số xuất hiện $3$ lần, $2$ chữ số còn lại khác nhau.

 $S_4=\left [ 12.4.C_5^2+4.4.(21-4) \right ].11111=8355472$

$\textbf{TH5}$ : $1$ chữ số xuất hiện $3$ lần, $1$ chữ số xuất hiện $2$ lần.

 $S_5=\left [ 6.4.2+4.(1+3) \right ].11111=711104$

 Tổng cần tính là $\sum_{k=1}^{5}S_k=114065526$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-11-2022 - 20:49

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

[Extra] Số là hàng xóm của mình, chú B. mưu sinh bằng nghề bán trái cây dạo. Một hôm, chú đi bán khi trong giỏ có 30 trái thanh long gồm 10 trái ruột đỏ và 20 trái ruột trắng.
Đến trưa, thì bán hết hàng. Khi về, đi ngang qua nhà lúc mình đang ngồi gõ máy tính, hình như là thấy ngứa mắt ( mình đâu có chọc ghẹo gì chú ấy đâu!) thế mà chú cắc cớ hỏi :" Ê, thằng nhỏ, nếu theo trình tự số trái cây tao đã bán mà được phân thành từng nhóm 3 trái một thì xác suất để không có nhóm nào là 3 trái thanh long ruột đỏ là bao nhiêu vậy hả mậy? "
Nào, mời các anh, chị và các bạn trả lời hộ mình nhé!

Gọi số trái thanh long ruột đỏ trong mỗi bộ ba theo thứ tự là $x_1,x_2,...,x_{10}$ ($0\leqslant x_i\leqslant 3$). Ta có :

$$x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10$$

Hàm sinh cho số cách phân bố $10$ trái thanh long ruột đỏ vào $10$ bộ ba là :

$f(x)=(1+x+x^2+x^3)^{10}=\left ( \frac{1-x^4}{1-x} \right )^{10}=(1-x^4)^{10}(1-x)^{-10}=(1-10x^4+45x^8-...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$

$\left [ x^{10} \right ]f(x)=C_{19}^9-10C_{15}^9+45C_{11}^9=44803$.

Hàm sinh cho số cách phân bố sao cho không có bộ ba nào có $3$ trái thanh long ruột đỏ là :

$g(x)=(1+x+x^2)^{10}=\left ( \frac{1-x^3}{1-x} \right )^{10}=(1-10x^3+45x^6-120x^9+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$
$\left [ x^{10} \right ]g(x)=C_{19}^9-10C_{16}^9+45C_{13}^9-120C_{10}^9=8953$.

Xác suất cần tính là $\frac{8953}{44803}\approx 0,1998$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết
3/ Các số 5 chữ số lập từ các chữ số đã cho có dạng $\overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }$.
Ta xét các trường hợp, giả sử :
- $a_4\in \left \{ 2,5,6 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]f(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=370$ số
- $a_4\in \left \{ 1,3 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]g(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^4\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=626$ số
- $a_4=4$  thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]h(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^3\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^3=738$ số
Do đó tổng các số thỏa yêu cầu là :
$\sum_{k=0}^{4}\left [ 370(2+5+6)+626(1+3)+738\cdot4 \right ]10^k\\
=10266\cdot11111=\boldsymbol {114065526}$
Bài [Extra]:Em nghĩ là : số trái ruột đỏ chỉ chiếm 1/3 nên XS cần tìm sẽ vào khoảng lân cận 66%. Anh thấy sao?
<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#9
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

3/ Các số 5 chữ số lập từ các chữ số đã cho có dạng $\overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }$.
Ta xét các trường hợp, giả sử :
- $a_4\in \left \{ 2,5,6 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]f(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=370$ số
- $a_4\in \left \{ 1,3 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]g(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^4\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=626$ số
- $a_4=4$  thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]h(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^3\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^3=738$ số
Do đó tổng các số thỏa yêu cầu là :
$\sum_{k=0}^{4}\left [ 370(2+5+6)+626(1+3)+738\cdot4 \right ]10^k\\
=10266\cdot11111=\boldsymbol {114065526}$
Bài [Extra]:Em nghĩ là : số trái ruột đỏ chỉ chiếm 1/3 nên XS cần tìm sẽ vào khoảng lân cận 66%. Anh thấy sao?

Bài 3 : Tính nhầm ở TH5 (đã sửa)

Bài [Extra] Mình nghĩ $n(\Omega )$ là số bộ nghiệm nguyên của phương trình $\sum_{i=1}^{10}x_i=10$ với $0\leqslant x_i\leqslant 3$

Còn $n(A)$ cũng là số bộ nghiệm nguyên của phương trình đó nhưng với $0\leqslant x_i\leqslant 2$

------------------------------------------------------

Giả sử một lớp học có 3 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bây giờ nếu chia ngẫu nhiên cả lớp thành 10 nhóm (mỗi nhóm 3 bạn). Thử nghĩ xem khi đó xác suất không có nhóm nào gồm 3 bạn tổ 1 có cao không ? (Mình nghĩ rằng không cao lắm đâu)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-11-2022 - 21:27

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#10
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết
Bài [Extra]:Ta có bài toán tương đương như sau :
Xét xâu nhị phân kích thước 30 bit gồm 20 bit 0 và 10 bit 1. Phân xâu thành 10 đoạn, mỗi đoạn chứa 3 bit. Hỏi XS để các xâu không có đoạn nào chứa 3 bit 1. Giải :
Đặt $x$ là đại diện cho bit 1 thì hàm sinh cho đoạn không có 3 bit 1 là $1+3x+3x^2$ nên ta có hàm sinh cho 10 đoạn :
$f(x)=\left(1+3x+3x^2\right) ^{10}
\Longrightarrow [x^{10}]f(x)=[x^{10}]\left(1+3x+3x^2\right) ^{10}=21640365$
Vậy XS cần tìm là :
$\frac{21640365}{C_{30}^{10}}=\frac {21640365}{30045015}\approx \boldsymbol {0,7203}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 22:52

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#11
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết

------------------------------------------------------
Giả sử một lớp học có 3 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bây giờ nếu chia ngẫu nhiên cả lớp thành 10 nhóm (mỗi nhóm 3 bạn). Thử nghĩ xem khi đó xác suất không có nhóm nào gồm 3 bạn tổ 1 có cao không ? (Mình nghĩ rằng không cao lắm đâu)

Em nghĩ hơi khác một tí.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 23:21

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#12
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

Bạn thử nghĩ bài toán này xem : Có 10 quả cam được bỏ ngẫu nhiên vào 10 cái hộp được đánh số thứ tự. Biết rằng có thể có hộp không có cam và mỗi hộp chứa tối đa 3 quả. Tính xác suất không có hộp nào có 3 quả cam ?


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#13
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết

Bạn thử nghĩ bài toán này xem : Có 10 quả cam được bỏ ngẫu nhiên vào 10 cái hộp được đánh số thứ tự. Biết rằng có thể có hộp không có cam và mỗi hộp chứa tối đa 3 quả. Tính xác suất không có hộp nào có 3 quả cam ?

XS là $8953/44803\approx 0,1998$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 23:44

<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent

#14
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2406 Bài viết

XS là $8953/44803\approx 0,1998$

Vậy thì bài toán 10 quả cam này với bài toán 30 học sinh, bài toán 30 bit và bài toán những trái thanh long có gì khác nhau đâu nhỉ ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#15
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 670 Bài viết

Vậy thì bài toán 10 quả cam này với bài toán 30 học sinh, bài toán 30 bit và bài toán những trái thanh long có gì khác nhau đâu nhỉ ?

Theo em nghĩ, những thí dụ này không tương đương với bài OP, nếu không muốn nói là khá khập khiễng...
<p>
HOPE
</p>Paroles, paroles, paroles (écoute-moi)
Paroles, paroles, paroles (je t'en prie)
Paroles, paroles, paroles (je te jure)
Paroles, paroles, paroles
Paroles, paroles, encore des paroles que tu sèmes au vent




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh