Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 24-11-2022 - 19:57

1/Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất một chữ số 6 và chia hết cho 3.
2/ Từ các chữ cái $A,B,C,D,E$ hỏi có bao nhiêu xâu 8 chữ cái được lập thành mà trong đó mỗi chữ cái xuất hiện ít nhất một lần.
3/ Tính tổng các số 5 chữ số được lập từ $1,1,2,3,3,4,4,4,5,6.$

[Extra] Số là hàng xóm của mình, chú B. mưu sinh bằng nghề bán trái cây dạo. Một hôm, chú đi bán khi trong giỏ có 30 trái thanh long gồm 10 trái ruột đỏ và 20 trái ruột trắng.
Đến trưa, thì bán hết hàng. Khi về, đi ngang qua nhà lúc mình đang ngồi gõ máy tính, hình như là thấy ngứa mắt ( mình đâu có chọc ghẹo gì chú ấy đâu!) thế mà chú cắc cớ hỏi :" Ê, thằng nhỏ, nếu theo trình tự số trái cây tao đã bán mà được phân thành từng nhóm 3 trái một thì xác suất để không có nhóm nào là 3 trái thanh long ruột đỏ là bao nhiêu vậy hả mậy? "
Nào, mời các anh, chị và các bạn trả lời hộ mình nhé!
Added.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 01:15

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-11-2022 - 23:04

1/Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số có ít nhất một chữ số 6 và chia hết cho 3.

Gọi $A=\left \{ 0,3,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,4,7 \right \}$ ; $C=\left \{ 2,5,8 \right \}$

Gọi $M$ là số số tự nhiên có $5$ chữ số chia hết cho $3$ mà không có chữ số $6$.

Ta tính $M$ như sau :

+ Cả $5$ chữ số thuộc $A$ : Có $2.3^4=162$ số.

+ $2$ chữ số thuộc $A$, $3$ chữ số thuộc $B$ : Có $2.4.3^4+C_4^2.3^5=2106$ số.

+ $2$ chữ số thuộc $A$, $3$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.4.3^4+C_4^2.3^5=2106$ số.

+ $4$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $C$ : Có $5.3^5=1215$ số.

+ $1$ chữ số thuộc $B$, $4$ chữ số thuộc $C$ : Có $5.3^5=1215$ số.

+ $3$ chữ số thuộc $A$, $1$ chữ số thuộc $B$, $1$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.4.3.3^4+C_4^3C_2^1.3^5=3888$ số.
+ $1$ chữ số thuộc $A$, $2$ chữ số thuộc $B$, $2$ chữ số thuộc $C$ : Có $2.C_4^2.3^4+4.C_4^2.3^5=6804$ số.

$\Rightarrow M=17496$

Vậy đáp án là $\frac{90000}{3}-M=12504$ số.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-11-2022 - 23:05

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 00:25

- Thiệt phục anh sát đất!
1/ Trước hết, ta đếm các số có 5 chữ số không có chữ số 6 và chia hết cho 3.
Giả sử số 5 chữ số này là $10a+b$ và $ 0\leq b\leq 9$.
Nếu $ a\equiv 0\pmod3 $ thì b có 3 lựa chọn : 0, 3 hoặc 9.
Nếu $a\equiv 1\pmod3 $ hoặc $ a\equiv 2\pmod3$ thì b cũng có 3 lựa chọn.
Do đó số các số 5 chữ số không có chữ số 6 chia hết cho 3 chính là số các số có 4 chữ số không có chữ số 6 nhân cho 3 cụ thể là :
$8\cdot9\cdot9\cdot9\cdot3=17496.$
Số các số có 5 chữ số chia hết cho 3 là :
$\frac {1}{3}(99999-9999)=30000$
Như vậy số các số thỏa yêu cầu là :
$30000-17496=\boldsymbol {12504}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 01:06

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 25-11-2022 - 07:44

2/ Từ các chữ cái $A,B,C,D,E$ hỏi có bao nhiêu xâu 8 chữ cái được lập thành mà trong đó mỗi chữ cái xuất hiện ít nhất một lần.

+ Có $3$ chữ cái xuất hiện $2$ lần $\rightarrow C_5^3.\frac{8!}{(2!)^3}=10.7!=50400$ xâu.

+ Có $1$ chữ cái xuất hiện $3$ lần, $1$ chữ cái xuất hiện $2$ lần $\rightarrow 5.4.\frac{8!}{3!2!}=67200$ xâu.

+ Có $1$ chữ cái xuất hiện $4$ lần $\rightarrow 5.\frac{8!}{4!}=8400$ xâu.

$\Rightarrow$ đáp án là $50400+67200+8400=126000$ xâu.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 11:06

- Đúng là chuyên gia casework!
2/ Hoặc là :
Tính hệ số của số hạng chứa  $\frac {x^8}{8!}$ trong khai triển hàm sinh :
$\left[\frac {x^8}{8!}\right ]f(x)=\left [\frac {x^8}{8!}\right ]\left (x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!}\right )^5$
HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 25-11-2022 - 12:42

3/ Tính tổng các số 5 chữ số được lập từ $1,1,2,3,3,4,4,4,5,6.$

$\textbf{TH1}$ : $5$ chữ số khác nhau từng đôi một.

 $S_1=24.11111.(15+16+17+18+19+20)=27999720$

$\textbf{TH2}$ : Có đúng $2$ chữ số giống nhau, $3$ chữ số còn lại khác nhau từng đôi một.

 $S_2=\left [ 24.(1+3+4).C_5^3+12.6.(3.21-1-3-4) \right ].11111=65332680$

$\textbf{TH3}$ : Có $2$ chữ số xuất hiện $2$ lần.

 $S_3=\left [ 12.2.(1+3+4).C_4^1+6.(3.21-2.1-2.3-2.4) \right ].11111=11666550$

$\textbf{TH4}$ : Có một chữ số xuất hiện $3$ lần, $2$ chữ số còn lại khác nhau.

 $S_4=\left [ 12.4.C_5^2+4.4.(21-4) \right ].11111=8355472$

$\textbf{TH5}$ : $1$ chữ số xuất hiện $3$ lần, $1$ chữ số xuất hiện $2$ lần.

 $S_5=\left [ 6.4.2+4.(1+3) \right ].11111=711104$

 Tổng cần tính là $\sum_{k=1}^{5}S_k=114065526$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-11-2022 - 20:49

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 25-11-2022 - 15:40

[Extra] Số là hàng xóm của mình, chú B. mưu sinh bằng nghề bán trái cây dạo. Một hôm, chú đi bán khi trong giỏ có 30 trái thanh long gồm 10 trái ruột đỏ và 20 trái ruột trắng.
Đến trưa, thì bán hết hàng. Khi về, đi ngang qua nhà lúc mình đang ngồi gõ máy tính, hình như là thấy ngứa mắt ( mình đâu có chọc ghẹo gì chú ấy đâu!) thế mà chú cắc cớ hỏi :" Ê, thằng nhỏ, nếu theo trình tự số trái cây tao đã bán mà được phân thành từng nhóm 3 trái một thì xác suất để không có nhóm nào là 3 trái thanh long ruột đỏ là bao nhiêu vậy hả mậy? "
Nào, mời các anh, chị và các bạn trả lời hộ mình nhé!

Gọi số trái thanh long ruột đỏ trong mỗi bộ ba theo thứ tự là $x_1,x_2,...,x_{10}$ ($0\leqslant x_i\leqslant 3$). Ta có :

$$x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10$$

Hàm sinh cho số cách phân bố $10$ trái thanh long ruột đỏ vào $10$ bộ ba là :

$f(x)=(1+x+x^2+x^3)^{10}=\left ( \frac{1-x^4}{1-x} \right )^{10}=(1-x^4)^{10}(1-x)^{-10}=(1-10x^4+45x^8-...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$

$\left [ x^{10} \right ]f(x)=C_{19}^9-10C_{15}^9+45C_{11}^9=44803$.

Hàm sinh cho số cách phân bố sao cho không có bộ ba nào có $3$ trái thanh long ruột đỏ là :

$g(x)=(1+x+x^2)^{10}=\left ( \frac{1-x^3}{1-x} \right )^{10}=(1-10x^3+45x^6-120x^9+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+9}^9x^k$
$\left [ x^{10} \right ]g(x)=C_{19}^9-10C_{16}^9+45C_{13}^9-120C_{10}^9=8953$.

Xác suất cần tính là $\frac{8953}{44803}\approx 0,1998$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 16:43

3/ Các số 5 chữ số lập từ các chữ số đã cho có dạng $\overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }$.
Ta xét các trường hợp, giả sử :
- $a_4\in \left \{ 2,5,6 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]f(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=370$ số
- $a_4\in \left \{ 1,3 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]g(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^4\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=626$ số
- $a_4=4$  thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]h(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^3\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^3=738$ số
Do đó tổng các số thỏa yêu cầu là :
$\sum_{k=0}^{4}\left [ 370(2+5+6)+626(1+3)+738\cdot4 \right ]10^k\\
=10266\cdot11111=\boldsymbol {114065526}$
Bài [Extra]:Em nghĩ là : số trái ruột đỏ chỉ chiếm 1/3 nên XS cần tìm sẽ vào khoảng lân cận 66%. Anh thấy sao?
HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#9 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 25-11-2022 - 21:12

3/ Các số 5 chữ số lập từ các chữ số đã cho có dạng $\overline{a_4a_3a_2a_1a_0 }$.
Ta xét các trường hợp, giả sử :
- $a_4\in \left \{ 2,5,6 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]f(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^2\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=370$ số
- $a_4\in \left \{ 1,3 \right \}$ thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]g(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^4\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} \right )=626$ số
- $a_4=4$  thì số các số $\overline{a_3a_2a_1a_0 }$ là :
$\left [ \frac{x^4}{4!} \right ]h(x)=\left [ \frac{x^4}{4!} \right ](1+x)^3\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!} \right )^3=738$ số
Do đó tổng các số thỏa yêu cầu là :
$\sum_{k=0}^{4}\left [ 370(2+5+6)+626(1+3)+738\cdot4 \right ]10^k\\
=10266\cdot11111=\boldsymbol {114065526}$
Bài [Extra]:Em nghĩ là : số trái ruột đỏ chỉ chiếm 1/3 nên XS cần tìm sẽ vào khoảng lân cận 66%. Anh thấy sao?

Bài 3 : Tính nhầm ở TH5 (đã sửa)

Bài [Extra] Mình nghĩ $n(\Omega )$ là số bộ nghiệm nguyên của phương trình $\sum_{i=1}^{10}x_i=10$ với $0\leqslant x_i\leqslant 3$

Còn $n(A)$ cũng là số bộ nghiệm nguyên của phương trình đó nhưng với $0\leqslant x_i\leqslant 2$

------------------------------------------------------

Giả sử một lớp học có 3 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bây giờ nếu chia ngẫu nhiên cả lớp thành 10 nhóm (mỗi nhóm 3 bạn). Thử nghĩ xem khi đó xác suất không có nhóm nào gồm 3 bạn tổ 1 có cao không ? (Mình nghĩ rằng không cao lắm đâu)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 25-11-2022 - 21:27

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#10 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 22:51

Bài [Extra]:Ta có bài toán tương đương như sau :
Xét xâu nhị phân kích thước 30 bit gồm 20 bit 0 và 10 bit 1. Phân xâu thành 10 đoạn, mỗi đoạn chứa 3 bit. Hỏi XS để các xâu không có đoạn nào chứa 3 bit 1. Giải :
Đặt $x$ là đại diện cho bit 1 thì hàm sinh cho đoạn không có 3 bit 1 là $1+3x+3x^2$ nên ta có hàm sinh cho 10 đoạn :
$f(x)=\left(1+3x+3x^2\right) ^{10}
\Longrightarrow [x^{10}]f(x)=[x^{10}]\left(1+3x+3x^2\right) ^{10}=21640365$
Vậy XS cần tìm là :
$\frac{21640365}{C_{30}^{10}}=\frac {21640365}{30045015}\approx \boldsymbol {0,7203}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 22:52

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#11 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 23:13

------------------------------------------------------
Giả sử một lớp học có 3 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bây giờ nếu chia ngẫu nhiên cả lớp thành 10 nhóm (mỗi nhóm 3 bạn). Thử nghĩ xem khi đó xác suất không có nhóm nào gồm 3 bạn tổ 1 có cao không ? (Mình nghĩ rằng không cao lắm đâu)

Em nghĩ hơi khác một tí.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 23:21

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#12 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 25-11-2022 - 23:30

Bạn thử nghĩ bài toán này xem : Có 10 quả cam được bỏ ngẫu nhiên vào 10 cái hộp được đánh số thứ tự. Biết rằng có thể có hộp không có cam và mỗi hộp chứa tối đa 3 quả. Tính xác suất không có hộp nào có 3 quả cam ?


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#13 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 25-11-2022 - 23:42

Bạn thử nghĩ bài toán này xem : Có 10 quả cam được bỏ ngẫu nhiên vào 10 cái hộp được đánh số thứ tự. Biết rằng có thể có hộp không có cam và mỗi hộp chứa tối đa 3 quả. Tính xác suất không có hộp nào có 3 quả cam ?

XS là $8953/44803\approx 0,1998$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 25-11-2022 - 23:44

HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.

#14 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2187 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 26-11-2022 - 06:54

XS là $8953/44803\approx 0,1998$

Vậy thì bài toán 10 quả cam này với bài toán 30 học sinh, bài toán 30 bit và bài toán những trái thanh long có gì khác nhau đâu nhỉ ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#15 Nobodyv3

Nobodyv3

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 350 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 26-11-2022 - 07:20

Vậy thì bài toán 10 quả cam này với bài toán 30 học sinh, bài toán 30 bit và bài toán những trái thanh long có gì khác nhau đâu nhỉ ?

Theo em nghĩ, những thí dụ này không tương đương với bài OP, nếu không muốn nói là khá khập khiễng...
HOPE

Tá vấn tửu gia hà xứ thị,
Mục đồng giao chỉ Hạnh Hoa thôn.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh