Đến nội dung

Hình ảnh

$n\epsilon \mathbb{N}$ , p nguyên tố để $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$

số học nguyên dương số nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn với mỗi số nguyên tố p cho trước , $\exists a\epsilon Z$ thỏa mãn $2^p+3^p=a^n$


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết

Nếu $p$ chẵn thì $a^n=13\rightarrow n=1$. Nếu $n=1$ thì luôn tồn tại $a$ thỏa mãn. Nếu $p$ lẻ, $n\geq2$ thì $5(2^{p-1}-2^{p-2}3+...-3^{p-2}2+3^{p-1})=a^n\vdots 5$ mà $n\geq2$ nên $A= 2^{p-1}-2^{p-2}3+...-3^{p-2}2+3^{p-1}\vdots 5$. Do $p$ lẻ nên $A$ có số lẻ $(p)$ hạng tử. Ta có: $2^{p-1}\equiv 3^{p-1}(mod5); -2^{p-2}3\equiv 3^{p-2}3\equiv 3^{p-1};...$. Khi đó $A\equiv p.3^{p-1}(mod 5)$, mà $GCD(3^{p-1};5)=1$ nên $p=5$, tức là $a^n=275$, không tìm được a và n thỏa mãn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 30-04-2023 - 02:43






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, nguyên dương, số nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh