Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$\sum^n_{k=1}{k(C^k_n)^2}=nC^{n-1}_{2n-1}$

đếm bằng 2 cách

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Saturina

Saturina

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hương Canh-Bình Xuyên-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Functional equation and algebra

Đã gửi 24-11-2022 - 23:20

Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1, n \in \mathbb{N}$, ta có: $$\sum^n_{k=1}{k(C^k_n)^2}=nC^{n-1}_{2n-1}$$


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#2 hovutenha

hovutenha

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán 2225 THPT chuyên Nguyễn Trãi
  • Sở thích:MÁTH

Đã gửi 26-11-2022 - 22:29

Phương pháp đếm bằng 2 cách: 
Ta sẽ đơn giản hóa bài toán bằng cách coi đề bài là: số cách chọn 1 đội bóng gồm n người (trong đó có 1 đội trưởng) từ 2n người 
Đếm cách 1: ta đếm đội trưởng trước
Có $2n$ cách chọn đội trưởng 
Sau đó ta sẽ đếm đội bóng, lúc này khi đã chọn đội trưởng rồi, thì ta chỉ còn phải chọn $n-1$ người từ $2n-1$ người còn lại tương đương với $C_{2n-1}^{n-1}$ cách chọn
Như vậy theo cách 1 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2n.C_{2n-1}^{n-1}$
Đếm cách 2: ta đếm đội bóng trước 
Chia 2n người cho trước thành 2 nhóm A và B, mỗi nhóm gồm n người, KMTTQ giả sử đội trưởng ở nhóm A
Ta sẽ chọn đội bóng bằng cách chọn $k$ người ở nhóm A, $n-k$ người ở nhóm B và chọn đội trưởng.
Thật vậy ta có: $C_{n}^{k}$ cách chọn người ở nhóm A, $C_{n}^{n-k}$ cách chọn người ở nhóm B và có $k$ cách chọn đội trưởng
Để ý vì đội trưởng có thể ở nhóm B và $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ nên theo cách 2 ta có số cách chọn thỏa mãn là: $2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
Suy ra: $2n.C_{2n-1}^{n-1}=2\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2} \leftrightarrow n.C_{2n-1}^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k.\left ( C_{n}^{k} \right )^{2}$
đpcm







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đếm bằng 2 cách

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh