Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khai Hung

Khai Hung

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.



#2
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được  :D 


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Tính chất. Hai số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $xy=z^2$ và $\text{UCLN}(x,y)=1$ thì cả hai số $x,y$ đều là số chính phương.

 

Quay lại bài toán. Theo giả thiết thì tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a^2-4b+1=k(a+2b)(2b-1)$, tương đương

\[a^2-4b^2+(2b-1)^2=k(a+2b)(2b-1)\iff (a+2b)\big(k(2b-1)+2b-a\big)=(2b-1)^2.\]

Đặt $d=\text{ULCN}(a+2b,k(2b-1)+2b-a)$ thì $d^2\mid (2b-1)^2$ nên ta có

\[\left\{\begin{array}{l}d\mid a+2b\\ d\mid k(2b-1)+2b-a\\ d\mid 2b-1\end{array}\right.\implies \left\{\begin{matrix}d\mid a+2b\\ d\mid 2b-a\end{matrix}\right.\implies d\mid 4b.\]

Vì $d\mid 2b-1$ nên $d$ lẻ, do đó $d\mid b$, dẫn tới $d=1$. Từ đây kết hợp với tính chất ở trên suy ra $a+2b$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-11-2022 - 14:21

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh