Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khai Hung

Khai Hung

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 24-11-2022 - 23:53

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.



#2 Matthew James

Matthew James

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:N

Đã gửi 25-11-2022 - 22:15

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Bài này trong đề học sinh giỏi quận Nam Từ Liêm năm hay nhưng mà tui chưa làm được  :D 


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 586 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 29-11-2022 - 14:16

Xét hai số nguyên dương a, b thỏa mãn $a^2-4b+1$ chia hết cho $(a+2b)(2b-1)$. Chứng minh rằng $a+2b$ là số chính phương.

Tính chất. Hai số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $xy=z^2$ và $\text{UCLN}(x,y)=1$ thì cả hai số $x,y$ đều là số chính phương.

 

Quay lại bài toán. Theo giả thiết thì tồn tại số nguyên $k$ sao cho $a^2-4b+1=k(a+2b)(2b-1)$, tương đương

\[a^2-4b^2+(2b-1)^2=k(a+2b)(2b-1)\iff (a+2b)\big(k(2b-1)+2b-a\big)=(2b-1)^2.\]

Đặt $d=\text{ULCN}(a+2b,k(2b-1)+2b-a)$ thì $d^2\mid (2b-1)^2$ nên ta có

\[\left\{\begin{array}{l}d\mid a+2b\\ d\mid k(2b-1)+2b-a\\ d\mid 2b-1\end{array}\right.\implies \left\{\begin{matrix}d\mid a+2b\\ d\mid 2b-a\end{matrix}\right.\implies d\mid 4b.\]

Vì $d\mid 2b-1$ nên $d$ lẻ, do đó $d\mid b$, dẫn tới $d=1$. Từ đây kết hợp với tính chất ở trên suy ra $a+2b$ là số chính phương.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-11-2022 - 14:21

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh