Chủ đề này có 2 trả lời

[tkd23112006]

Cho dãy số {$u_{n}$} xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{n} & = & 2022\\ u_{n+1} & = &\frac{u_{n}}{n.u_{n}^{2}+1} \end{matrix}\right.$. CMR dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tim giới hạn đó.

[Hoang72]

Xét dãy $(v_n)$ xác định bởi: $v_n = \frac{1}{u_n},\forall n\in\mathbb N^*$.

Thế thì $v_{n+1} = v_n + \frac{n}{v_n},\forall n\in\mathbb N^*$.

Do đó $(v_n)$ là dãy dương, tăng.

Đồng thời $v_2 = v_1 + \frac{1}{v_1} \geq 2$.

Bằng quy nạp, ta sẽ chứng minh được: $v_n\geq n,\forall n\in\mathbb N^*\setminus\{1\}$.

Đồng thời $\frac{v_{n+1}}{n+1}=\frac{v_n}{n+1}+\frac{n}{v_n(n+1)}\leq \frac{v_n}{n+1}+\frac{v_n}{n(n+1)}=\frac{v_n}{n},\forall n\geq 2$.

Suy ra $\left(\frac{v_n}{n}\right)_{n\geq 2}$ là dãy giảm, và bị chặn dưới bởi $0$ nên nó có giới hạn hữu hạn.

Đặt $L = \lim \frac{v_n}{n}\Rightarrow \lim(v_{n+1} - v_n) = \lim \frac{n}{v_n} = \frac{1}{L}$.

Theo định lý Stolz - Cesaro ta có $\lim \frac{v_n}{n} = \lim(v_{n+1} - v_n) = \frac{1}{L}$

$\Rightarrow \frac{1}{L}=L\Rightarrow L=1$.

Vậy $\lim \frac{1}{nu_n} = \lim \frac{v_n}{n} = 1$.

 

[nguyenhien1212]

Cho dãy số {$u_{n}$} xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{n} & = & 2022\\ u_{n+1} & = &\frac{u_{n}}{n.u_{n}^{2}+1} \end{matrix}\right.$. CMR dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tim giới hạn đó.

Đặt $b_n=nu_n$.

Ta có: $b_1=2022; b_{n+1}=\dfrac{(n+1)b_n}{b_n^2+n}$

Khi đó: $b_2<1$.

Ta có: $b_{n+1}-1=\dfrac{(1-b_n)(b_n-n)}{b_n^2+n} \Rightarrow $ theo quy nạp thì $b_n<1$ với mọi $n\geq2$

Do đó: $|b_{n+1}-1|=|b_n-1||\dfrac{b_n-n}{b_n^2+n}|<q|b_n-1|$ ($0<q<1$)

$\Rightarrow \lim b_n=1 \Rightarrow \lim\dfrac{1}{nu_n}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhien1212: 11-01-2023 - 21:01