Với mọi $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Saturina: 28-11-2022 - 13:03
$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b}}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$
Bắt đầu bởi Saturina, 28-11-2022 - 12:44
bất đẳng thức
Chủ đề này có 4 trả lời
#1
Saturina
-
- Thành viên mới
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Hương Canh-Bình Xuyên-Vĩnh Phúc
- Sở thích:Functional equation and algebra
Đã gửi 28-11-2022 - 12:44
- ThienDuc1101 và Matthew James thích
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ 
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#2
hovutenha
-
- Thành viên mới
-
- 22 Bài viết
Binh nhất
- Giới tính:Nam
Đã gửi 28-11-2022 - 15:26
Phương pháp S-S, có
$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c
- ThienDuc1101, Matthew James và Saturina thích
#3
Saturina
-
- Thành viên mới
-
- 31 Bài viết
Binh nhất
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Hương Canh-Bình Xuyên-Vĩnh Phúc
- Sở thích:Functional equation and algebra
Đã gửi 28-11-2022 - 20:34
Phương pháp S-S, có
$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?
- Matthew James yêu thích
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#4
Matthew James
-
- Thành viên
-
- 82 Bài viết
Hạ sĩ
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Hà Nội
- Sở thích:N
Đã gửi 28-11-2022 - 21:04
Th
Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?
Theo mình thì S-S là một phương pháp khai triển khá hay và được sử dụng cũng khá nhiều. Bạn tham khảo thêm phương pháp khai triển S.O.S và khai triển Abel vì những cách khai triển này dùng khá tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức 
- hovutenha, ThienDuc1101 và Saturina thích
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
#5
nhungvienkimcuong
-
- Thành viên
-
- 603 Bài viết
Thiếu úy
- Giới tính:Nam
- Đến từ:Daklak
- Sở thích:đã từng có
Đã gửi 29-11-2022 - 14:34
Với mọi $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$$
Có một kết quả cực mạnh của anh Võ Quốc Bá Cẩn để xử lí những bất đẳng thức tương tự là: Với $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca=q$ thì
\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6.\]
Chứng minh của anh Khuê ở đây, ngoài ra tài liệu "Bổ đề hoán vị" của anh Huyện cũng rất chi tiết về vấn đề này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-11-2022 - 14:35
- ThienDuc1101, Matthew James và Saturina thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
![$\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^p}\leq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|a_{i}|^p}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}|b_{i}|^p}$ - bài viết cuối bởi thanhng2k7](https://diendantoanhoc.org/uploads/profile/photo-thumb-185457.jpg?_r=1652809927)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
