Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$\sum_{cyc}{\dfrac{a}{b}}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Saturina

Saturina

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hương Canh-Bình Xuyên-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Functional equation and algebra

Đã gửi 28-11-2022 - 12:44

Với mọi $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Saturina: 28-11-2022 - 13:03

$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#2 hovutenha

hovutenha

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-11-2022 - 15:26

Phương pháp S-S, có

$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c



#3 Saturina

Saturina

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hương Canh-Bình Xuyên-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Functional equation and algebra

Đã gửi 28-11-2022 - 20:34

Phương pháp S-S, có

$\sum_{cyc}^{}\frac{a}{b} -3 = \frac{(a-b)^{2}}{ab} + \frac{(a-c)(b-c)}{ac}$
$\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -1=-\frac{(a-b)^{2}+(a-c)b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Do đó BĐT bài cho tương đương:
$M(a-b)^{2} + N(a-c)(b-c)\geq 0$ với M, N lần lượt là: $\frac{1}{ab}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ và $\frac{1}{ac}-\frac{3}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
Mà dễ dàng cm dc $M\geq 0,N\geq 0$
Ta có đpcm, dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#4 Matthew James

Matthew James

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:N

Đã gửi 28-11-2022 - 21:04

Th

 

Phương pháp S-S là phương pháp gì thế ạ?

Theo mình thì S-S là một phương pháp khai triển khá hay và được sử dụng cũng khá nhiều. Bạn tham khảo thêm phương pháp khai triển S.O.S và khai triển Abel vì những cách khai triển này dùng khá tốt trong việc chứng minh bất đẳng thức  :D


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#5 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 603 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 29-11-2022 - 14:34

Với mọi $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:

$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \ge \dfrac{9}{2}$$

Có một kết quả cực mạnh của anh Võ Quốc Bá Cẩn để xử lí những bất đẳng thức tương tự là: Với $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca=q$ thì

\[\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{2(27q^2-9q+1)}{9q^2-2q+(1-3q)\sqrt{q(1-3q)}}+\dfrac{1}{q}-6.\]

Chứng minh của anh Khuê ở đây, ngoài ra tài liệu "Bổ đề hoán vị" của anh Huyện cũng rất chi tiết về vấn đề này.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-11-2022 - 14:35

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh