Cho tam giác ABC có các đường cao ha, hb, hc và r là bán kính đường tròn nội tiếp. Tìm số thực dương k lớn nhất sao cho:
$$\frac{h_{a}+4h_{b}+9h_{c}}{r}>k$$.
Cho tam giác ABC có các đường cao ha, hb, hc và r là bán kính đường tròn nội tiếp. Tìm số thực dương k lớn nhất sao cho:
$$\frac{h_{a}+4h_{b}+9h_{c}}{r}>k$$.
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
Có $h_a = \frac{2S}{a}; h_b = \frac{2S}{b}; h_c = \frac{2S}{c}; r = \frac{2S}{a+b+c}$ nên ta cần tìm $k$ lớn nhất sao cho: $(a+b+c)\left(\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}\right) > k$. $(*)$
Chọn $a=1; b=2$ ta có bất đẳng thức $\frac{3(c+3)^2}{c}> k$ đúng với mọi $c\in (1;3)$.
Cho $c\to 3$ ta có $k\leq 36$. Khi $k=36$, bất đẳng thức $(*)$ hiển nhiên đúng theo Cauchy - Schwarz.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh