Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
1/ Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau, 4 sách Hóa khác nhau và 2 sách Lý khác nhau sao cho :
a/ tất cả các sách cùng loại không xếp kế nhau. (Chỉ cần 1 cuốn không xếp kế các sách cùng loại là thỏa yêu cầu)
b/ hai sách cùng loại không xếp kế nhau.
2bis/ Một cuốn sách được đánh số trang liên tục từ 1 đến n. Sách có 12 chương mà số các chữ số dùng để đánh số trang của mỗi chương là như nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của n.
3/ Một hộp đựng m bi đỏ và n bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi và tiếp đó lấy ngẫu nhiên viên bi thứ hai.
a) Hãy giải thích tại sao XS để viên bi thứ hai là bi xanh cũng là XS để viên bi thứ nhất là bi xanh và tính 2 XS này để chứng tỏ chúng bằng nhau.
b) Giả sử có tất cả 16 viên bi và XS 2 viên bi đã lấy là cùng màu bằng với XS 2 viên bi đã lấy là khác màu thì m, n là bao nhiêu?
Edited.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-11-2022 - 14:38

HOPE

A Canton on n'est pas content.

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

1/ Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau, 4 sách Hóa khác nhau và 2 sách Lý khác nhau sao cho :
a/ tất cả các sách cùng loại không xếp kế nhau. (Chỉ cần 1 cuốn không xếp kế các sách cùng loại là thỏa yêu cầu)
b/ hai sách cùng loại không xếp kế nhau.

a) Câu này mình thắc mắc chỗ "chỉ cần 1 cuốn không xếp kế các sách cùng loại là thỏa yêu cầu". Nếu vậy thì bất cứ cách xếp nào cũng thỏa yêu cầu rồi !

b) $\textbf{TH1}$ : Không có $2$ quyển Hóa, Lý nào xếp cạnh nhau.

  - Xếp $6$ quyển Toán lên kệ : Có $6!$ cách.

  - Cứ giữa $2$ quyển Toán, ta chèn vào $1$ quyển Hóa hoặc Lý : Có $6.5.4.3.2$ cách.

  - Quyển cuối cùng ta xếp vào ngoài cùng bên phải hoặc trái : Có $2$ cách.

    $\textbf{TH2}$ : Có $2$ quyển Hóa, Lý xếp cạnh nhau.

  - Xếp $6$ quyển Toán lên kệ : Có $6!$ cách.

  - Chọn ra $1$ quyển Hóa, $1$ quyển Lý và xếp chúng cạnh nhau, chèn vào giữa $2$ quyển Toán : $16.5$ cách

  - Xếp $4$ quyển còn lại, mỗi quyển chèn vào giữa $2$ quyển Toán : $4!$ cách

  Vậy đáp án là $2.(6!)^2+6!4!.80=2419200$ cách.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

2/ Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác không mà tích các chữ số là bội số của 10.

Gọi $A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1,2,3,4,6,7,8,9 \right \}$ ; $C=\left \{ 1,3,7,9 \right \}$

Và $M,N,P$ lần lượt là số số tự nhiên có $6$ chữ số lập được từ $A,B,C\Rightarrow M=5^6$, $N=8^6$, $P=4^6$

Số số tự nhiên thỏa mãn điều kiện đề bài là $9^6-M-N+P=257768$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
Sorry anh,
1/
a) ý em là :thí dụ, 5 cuốn toán kế nhau, vài cuốn loại khác rồi đến cuốn toán thứ 6:cách xếp này thỏa yc đối với cách xếp sách toán.
- Anh có thể viết hàm sinh cho bài 1 này?
PS: Em đã đổi bài 2/ khác.
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

2bis/ Một cuốn sách được đánh số trang liên tục từ 1 đến n. Sách có 12 chương mà số các chữ số dùng để đánh số trang của mỗi chương là như nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của n.

Nếu $n$ từ $10$ đến $99$ thì số chữ số cần dùng là $9+2(n-9)=2n-9$ (số lẻ, không chia hết cho $12$)

Nếu $n$ từ $100$ đến $999$ thì số chữ số cần dùng là $9+2.90+3(n-99)=3n-108$

Vì $\frac{3n-108}{12}\geqslant 16\rightarrow$ chương 1 phải có hơn $10$ trang.

Giả sử chương 1 có $m$ trang ($10< m< 100$) thì cần $2m-9$ chữ số để đánh số trang của chương 1.

Và cần $4m-18$ chữ số để đánh số trang của 2 chương đầu tiên.

$4m-18$ là số chẵn $\rightarrow$ tổng số trang của 2 chương đầu tiên phải từ $100$ trở lên.

$\Rightarrow 4m-18=3k-108\Rightarrow m=54$ (chọn $m$ nhỏ nhất)

$\Rightarrow$ số chữ số cần dùng để đánh số trang cuốn sách đó là $12.(2.54-9)=1188$

Và số trang của cuốn sách đó là $n=\frac{1188+108}{3}=432$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

3/ Một hộp đựng m bi đỏ và n bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi và tiếp đó lấy ngẫu nhiên viên bi thứ hai.
a) Hãy giải thích tại sao XS để viên bi thứ hai là bi xanh cũng là XS để viên bi thứ nhất là bi xanh và tính 2 XS này để chứng tỏ chúng bằng nhau.
b) Giả sử có tất cả 16 viên bi và XS 2 viên bi đã lấy là cùng màu bằng với XS 2 viên bi đã lấy là khác màu thì m, n là bao nhiêu?

a) Thay vì lấy ngẫu nhiên $2$ lần (mỗi lần $1$ viên), có thể dùng cách lấy ngẫu nhiên khác, thông qua 2 bước :

  - Bước 1 : Chọn ngẫu nhiên $2$ viên bi.

  - Bước 2 : Từ $2$ viên bi đó, chọn ngẫu nhiên viên thứ nhất và viên thứ hai.

   Như vậy, nếu trong bước 1 có $1$ viên bi xanh, thì xác suất nó là viên thứ nhất hay viên thứ hai là bằng nhau.

   Nói cách khác, XS viên thứ hai là bi xanh cũng bằng XS viên thứ nhất là bi xanh.

   XS bi thứ nhất là bi xanh $\frac{n}{m+n}$

   XS bi thứ hai là bi xanh $\frac{mn}{(m+n)(m+n-1)}+\frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{n(m+n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{n}{m+n}$

b) Ta có $m(m-1)+n(n-1)=2mn\Rightarrow m^2+n^2-2mn=m+n=16\Rightarrow \left | m-n \right |=4$

    $\Rightarrow m=10,n=6$ hoặc $m=6,n=10$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-11-2022 - 19:45

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

1/ Có bao nhiêu cách xếp lên kệ 6 sách Toán khác nhau, 4 sách Hóa khác nhau và 2 sách Lý khác nhau sao cho :
b/ hai sách cùng loại không xếp kế nhau.

Trước hết, tạm xem các sách cùng loại là giống nhau, ta có hàm sinh :

$f(x)=\left ( \frac{x^6}{6!}-C_5^1.\frac{x^5}{5!}+C_5^2.\frac{x^4}{4!}-C_5^3.\frac{x^3}{3!}+C_5^4.\frac{x^2}{2!}-x \right )\left ( \frac{x^4}{4!}-C_3^1.\frac{x^3}{3!}+C_3^2.\frac{x^2}{2!}-x \right )\left ( \frac{x^2}{2!}-x \right )=$

$=\frac{x^{12}}{34560}-\frac{11x^{11}}{8640}+\frac{13x^{10}}{576}-\frac{19x^9}{90}+\frac{183x^8}{160}-\frac{89x^7}{24}+\frac{43x^6}{6}-\frac{95x^5}{12}+\frac{9x^4}{2}-x^3$

Thay $x^k$ bằng $k!$ ta có $\frac{12!}{34560}-\frac{11.11!}{8640}+\frac{13.10!}{576}-...-\frac{95.5!}{12}+\frac{9.4!}{2}-3!=70$

Cuối cùng, số cách xếp thỏa mãn là $70.6!.4!.2!=2419200$ cách.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
@chanhquocnghiem:
Amazing solutions!
- Nhân đây, nhờ anh giúp bài này (em khá bị rối!) :
Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu cách sắp xếp xâu $a,a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho 3 chữ cái giống nhau không đứng kề nhau.
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#9
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu cách sắp xếp xâu $a,a,a,a,a,a,b,b,b,b,b,c,c,c,c$ sao cho 3 chữ cái giống nhau không đứng kề nhau.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-x \right )\left ( \frac{x^5}{120}-\frac{x^3}{2}+x^2 \right )\left ( \frac{x^4}{24}-x^2+x \right )$

$=\frac{x^{15}}{2073600}-\frac{17x^{13}}{172800}+\frac{7x^{12}}{28800}+\frac{11x^{11}}{1920}-\frac{73x^{10}}{2880}-\frac{103x^9}{1440}+\frac{133x^8}{240}+\frac{43x^7}{60}-\frac{3x^6}{4}+2x^5-x^4$

Thay $x^k$ bằng $k!$ được kết quả là $263604$ cách.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-12-2022 - 13:57

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#10
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
Rất cám ơn anh.
Em cũng làm giống anh, nhưng khi kiểm tra lại bằng cách sử dụng đa thức Laguerre thì kết quả không trùng khớp!(kết quả :263604). Em nghĩ hàm sinh anh em mình lập có vấn đề! Vậy mong anh giúp em cùng nghiên cứu xem sai ở đâu nhé?
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#11
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Rất cám ơn anh.
Em cũng làm giống anh, nhưng khi kiểm tra lại bằng cách sử dụng đa thức Laguerre thì kết quả không trùng khớp!(kết quả :263604). Em nghĩ hàm sinh anh em mình lập có vấn đề! Vậy mong anh giúp em cùng nghiên cứu xem sai ở đâu nhé?

Sử dụng đa thức Laguerre : $n_1=6$ ; $n_2=5$ ; $n_3=4$ ; $m_1=m_2=m_3=3$

$p_{3,6}(t)=\left [ x^6 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t$
$p_{3,5}(t)=\left [ x^5 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2$

$p_{3,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^4}{24}-t^2+t$

Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2 \right )\left ( \frac{t^4}{24}-t^2+t \right )dt=263604$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-12-2022 - 14:22

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#12
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Sử dụng đa thức Laguerre : $n_1=6$ ; $n_2=5$ ; $n_3=4$ ; $m_1=m_2=m_3=3$
$p_{3,6}(t)=\left [ x^6 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t$
$p_{3,5}(t)=\left [ x^5 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2$
$p_{3,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^4}{24}-t^2+t$
Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^6}{720}-\frac{t^4}{6}+\frac{t^3}{2}+\frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^5}{120}-\frac{t^3}{2}+t^2 \right )\left ( \frac{t^4}{4}-t^2+t \right )dt=260280$.

Anh nhầm ở ngoặc cuối cùng trong dấu tích phân phải là $\left( \frac {t^4}{24}-t^2+t\right). $
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#13
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Anh nhầm ở ngoặc cuối cùng trong dấu tích phân phải là $\left( \frac {t^4}{24}-t^2+t\right). $

Đúng vậy : $\frac{t^4}{24}-t^2+t$  (Đã sửa ở trên)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-12-2022 - 20:42

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#14
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
Các đa thức đều giống nhau nhưng khi lấy tích phân thì kết quả khác anh! I wonder why...
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#15
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Các đa thức đều giống nhau nhưng khi lấy tích phân thì kết quả khác anh! I wonder why...

Bạn tính tích phân đó như thế nào ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#16
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết
Em tính trên mạng các trang online integral calculator.
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#17
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Em tính trên mạng các trang online integral calculator.

Mình dùng WolframAlpha và ra kết quả là $260280$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#18
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 521 Bài viết

Mình dùng WolframAlpha và ra kết quả là $260280$.

Em cũng dùng WA nhưng kết quả là 263604. Link đây anh:
https://www.wolframa... dx , x=0 to oo
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#19
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2301 Bài viết

Em cũng dùng WA nhưng kết quả là 263604. Link đây anh:
https://www.wolframa... dx , x=0 to oo

Thì ra là do hôm qua mình sơ xuất nhập sai cái đa thức sau cùng nên cho kết quả sai (chả hiểu sao cả ngày mà không phát hiện ra)

https://www.wolframa...-x)dx x=0 to oo

Thật là tắc trách, xin thông cảm vì sự phiền toái này :( (Đã sửa lại ở trên)
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh