Chủ đề này có 1 trả lời

[HuyCubing]

Cho bốn số thực dương $a,\,b,\,c,\,d.$ Chứng minh rằng $$\left( \dfrac{a}{a+b} \right)^4+ \left( \dfrac{b}{b+c} \right)^4 + \left( \dfrac{c}{c+d} \right)^4+ \left( \dfrac{d}{d+a} \right)^4 \geqslant \dfrac{1}{4}. $$

[Sangnguyen3]

$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+\frac{b}{a}} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{d}{c}=z,\frac{a}{d}=t \Rightarrow xyzt=1$

Cần chứng minh $\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$

$\frac{1}{(1+x)^{4}}+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{2(1+x)^{2}}$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x}\right )^{4}\geq \frac{1}{2}.\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2} - \frac{1}{4}$

Ta có $\frac{1}{(1+x)^{2}}+ \frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1} \Leftrightarrow xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}\geq 0$

Thiết lập bđt tương tự với $z,t$

$\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2}\geq \frac{1}{xy+1} +\frac{1}{zt+1} =1$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$