$\sum \left( \dfrac{a}{a+b} \right)^4 \geqslant \dfrac{1}{4}.$
#1
Đã gửi 30-11-2022 - 12:09
- ThienDuc1101 yêu thích
#2
Đã gửi 30-11-2022 - 21:59
$\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+\frac{b}{a}} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$
$\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y,\frac{d}{c}=z,\frac{a}{d}=t \Rightarrow xyzt=1$
Cần chứng minh $\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq \frac{1}{4}$
$\frac{1}{(1+x)^{4}}+\frac{1}{16}\geq \frac{1}{2(1+x)^{2}}$
$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x}\right )^{4}\geq \frac{1}{2}.\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2} - \frac{1}{4}$
Ta có $\frac{1}{(1+x)^{2}}+ \frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{xy+1} \Leftrightarrow xy(x-y)^{2}+(xy-1)^{2}\geq 0$
Thiết lập bđt tương tự với $z,t$
$\sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{2}\geq \frac{1}{xy+1} +\frac{1}{zt+1} =1$
$\Rightarrow \sum \left ( \frac{1}{1+x} \right )^{4}\geq\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
- ThienDuc1101, Matthew James và HuyCubing thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh