Đến nội dung

Hình ảnh

$pq(n+1) = (p+q)(n^2+1)$ với $p, q$ nguyên tố

so nguyen to

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
linhchi2014

linhchi2014

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $pq(n+1) = (p+q)(n^2+1)$ với $n$ là số tự nhiên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 03-12-2022 - 04:36
Tiêu đề + LaTeX


#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết

Dễ chứng minh được $d=GCD(n^{2}+1,n+1)\epsilon \begin{Bmatrix} 1,2 \end{Bmatrix}$ . Nếu d=1 thì $pq(n+1)=(p+q)(n^{2}+1)\vdots n^{2}+1 \rightarrow pq\vdots n^{2}+1 \rightarrow n^{2}+1 \epsilon U(pq)=\begin{Bmatrix} 1,p,q,pq \end{Bmatrix}$ . Bạn tự chứng minh t/h $n^{2}+1=1$ . Với  $n^{2}+1=p\rightarrow q(n+1)=(p+q)\vdots q \rightarrow p\vdots q \rightarrow p=q \rightarrow \left\{\begin{matrix}n+1=2\rightarrow n=1 \\ 1+1=p\rightarrow p=q=2 \end{matrix}\right.$ Tương tự với t/h q. Nếu $n^{2}+1=pq\rightarrow n+1=p+q \rightarrow (p+q-1)^{2}+1=p+q,$  đến đây bạn tự giải phương trình ước số. Nếu d=2 thì $\left\{\begin{matrix} n^{2}+1=2a \\ n+1=2b \end{matrix}\right.; a,b\epsilon N^{*}, GCD(a,b)=1 \rightarrow pqa=(p+q)b$ đến đây thì giải như trên. 



#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Đọc lời giải của Nguyen Bao Khanh mình thấy trong cả hai trường hợp giá trị của $d$ thì ta đều có $p=q$, hơn nữa, cách chứng minh cả hai trường hợp bị lặp lại. Điều này khiến mình đặt câu hỏi, liệu có thể chứng minh $p=q$ trước được không? Từ đó có lời giải sau. 

 

Lời giải. Trước hết, xét trường hợp $p \neq q.$ Khi đó do $p$ và $q$ đều là số nguyên tố nên $(p,q)=1.$ 

Ta viết lại phương trình ban đầu theo hai cách.

Cách thứ nhất 

$p(n^2-qn-q+1)+q(n^2+1)=0.$

Cách thứ hai 

$q(n^2-pn-p+1)+p(n^2+1)=0.$

Từ cách thứ nhất, ta suy ra $q(n^2+1) \vdots p.$ Nhưng, bởi $(p,q)=1$ nên $ n^2+1 \vdots q.$
Tương tự, từ cách thứ hai ta suy ra $ n^2+1 \vdots p.$
Và như vậy $ n^2+1 \vdots pq.$ 
Đặt $n^2+1=rpq$ với $r \in \mathbb{N^*}$. Thay vào phương trình ban đầu ta suy ra ngay $n+1=r(p+q)$, hay $n=r(p+q)-1$.
Thay ngược trở lại vào $n^2+1=rpq$ ta được $(rp+rq-1)^2+1=rpq.$
Biến đổi tương đương phương trình này ta có $(rp-1)^2+(rq-1)^2+r(2r-1)pq=0.$ Điều này vô lý. 
Vậy ta phải có $p=q$.
 
Bây giờ phương trình ban đầu trở thành 
$p(n+1)=2(n^2+1).$   $(*)$
Trường hợp $p=q=2$ ta suy ra ngay $n=0$ hoặc $n=1$. 
Trường hợp $p=q>2$, khi đó do $p$ nguyên tố nên $(p,2)=1$. Do đó $n+1 \vdots 2$. 
Đặt $n=2k+1$ với $k \in \mathbb{N} $. Thay vào phương trình $(*)$ và rút gọn hai vế ta được 
$p(k+1)=2(2k^2+2k+1)$ 
Dễ thấy $(k+1, 2k^2+2k+1)=1$ nên ta phải có $p \vdots 2k^2+2k+1$. 
Để ý rằng nếu $k=0$ thì $p=2$ mâu thuẫn. Do đó $k>0$, cho nên $2k^2+2k+1>1$. Mà p là số nguyên tố nên $p=2k^2+2k+1$. 
Từ đó ta có ngay $k=1$ và dẫn tới $n=3$ và $p=q=5$. 
 
Vậy phương trình ban đầu có ba bộ nghiệm $(n,p,q)$ là $(0;2;2)$, $(1;2;2)$ và $(3;5;5).$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-04-2023 - 20:26

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

ok, giải bài cho vui hen, do supermember cũng không ngồi máy lâu được nên mỗi ngày làm $1$ tí nhé.

 

Ta xét $2$ trường hợp:

 

Trường Hợp $1$: $ p=q$ thì khi đó, đẳng thức đã cho tương đương với:

 

$ \frac{p}{2} = \frac{ n^2+1}{n+1}$

 

Tương đương với: $ 2n^2 -pn + (2-p) = 0$ $(*)$

 

Để phương trình $(*)$ có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là phải có biệt số $ \triangle$ là số chính phương. Tức là: $ \triangle = p^2 - 8(2-p) = p^2 + 8p-16$ là số chính phương.

 

Nhưng mà dễ thấy là $ p^2 \leq  p^2 + 8p-16 < (p+4)^2$ nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp :

 

$ p^2 + 8p-16  \in \{ p^2 ; \ (p+1)^2; \ (p+2)^2; \ (p+3)^2 \}$

 

Sử dụng tính chẵn lẻ để so sánh  thì ta dễ thấy ngay $p^2 + 8p-16$  không thể nhận các giá trị $(p+1)^2$ hay $(p+3)^2$

Chẳng hạn, nếu $p^2 + 8p-16 = (p+1)^2$ thì $ 8p-16 = 2p+1$, vô lý, vì $2$ vế trái, phải sẽ khác tính chẵn lẻ.

 

nên chỉ có thể xảy ra $2$ khả năng:

 

Khả năng $1$: Nếu $ p^2 +8p-16 = p^2$ thì $ p=q=2$. Khi thử lại, ta tính trực tiếp được $2$ giá trị $n$ tương ứng là $ 0; \ 1$ đều là những số tự nhiên. Tức là bộ $2$ số  nguyên tố $(p;q)$: $(2; \ 2)$ thỏa mãn điều kiện bài toán. 

 

Khả năng $2$: Nếu $ p^2 +8p-16 = (p+2)^2$ thì $ p=q=5$. Khi thử lại, ta tính trực tiếp được chỉ có $1$ giá trị số tự nhiên  $n$ tương ứng là $ 3$. Tức là bộ $2$ số  nguyên tố $(p;q)$: $(5; \ 5)$ thỏa mãn điều kiện bài toán. 

 

Trường Hợp $2$: $ p \neq q$ thì khi đó, rõ ràng:

 

$ \gcd( pq; \ p+q) =1$ , suy ra : phân số $ \frac{pq}{p+q}$ tối giản  $(1)$

 

$ \gcd( n^2+1;\  n+1) = \gcd( (n-1)(n+1) +2; \   n+1) =  \gcd( 2; \ n+1) \in \{ 1; 2 \} $

 

Khả năng $1$: Nếu  $ \gcd( n^2+1;\  n+1) = 1$ thì rõ ràng phân số: $ \frac{n^2 +1}{n+1}$ là phân số tối giản  $(2)$

 

Từ $(1) ; \ (2)$, suy ra: $\left\{\begin{matrix} pq= n^2 +1 & \\ p+q = n+1 \end{matrix}\right. (**)$

 

Nhưng hệ $(**)$ này vô nghiệm, chứng minh đơn giản bằng phản chứng.

 

Thật vậy, giả sử tồn tại $(p; \ q; \ n)$ thỏa mãn hệ $(**)$ thì do $ (q+p)^2 \geq 4pq \implies (n+1)^2 \geq 4(n^2+1) \implies 2(n^2+1) + (n-1)^2 \leq 0$ , Vô lý !

 

Khả năng $2$: Nếu  $ \gcd( n^2+1;\  n+1) = 2$ thì rõ ràng phân số: $ \frac{ \frac{n^2 +1}{2}}{\frac{n+1}{2}}$ là phân số tối giản  $(3)$

 

Từ $(3) ; \ (1)$, suy ra: $\left\{\begin{matrix} pq= \frac{n^2 +1}{2} & \\ p+q = \frac{n+1}{2} \end{matrix}\right. (***)$

 

Nhưng hệ $(***)$ này cũng vô nghiệm, chứng minh đơn giản bằng phản chứng y như trên:

 

Thật vậy, giả sử tồn tại $(p; \ q; \ n)$ thỏa mãn hệ $(***)$ thì do $ (q+p)^2 \geq 4pq \implies \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 \geq 4\cdot \frac{n^2+1}{2} \implies  (n+1)^2 \geq 8(n^2+1) \implies 6(n^2+1) + (n-1)^2 \leq 0$ , Vô lý !

 

Tức là không thể xảy trường hợp $ p \neq q$

 

Như vậy, sau khi xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra, ta kết luận chỉ có bộ $2$ số  nguyên tố $(p;q)$ thỏa mãn điều kiện bài toán là: $(2; \ 2); \ (5; \ 5)$ 

 

Bài Toán Theo Đó Được Giải Quyết Hoàn Toàn. :D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-05-2023 - 22:50

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: so nguyen to

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh