Bài toán này có nguồn từ Romania TST 1991
#1
Đã gửi 03-12-2022 - 12:56
#2
Đã gửi 03-12-2022 - 16:08
Cho dãy số nguyên dương $(a_n)_{n\ge 1}$ thỏa mãn
$$\text{UCLN}(a_m,a_n)=a_{\text{UCLN}(m,n)},\quad \forall m,n\ge 1.$$
CMR tồn tại dãy số nguyên dương $(b_n)_{n\ge 1}$ sao cho $a_n=\prod_{d\mid n}b_d$ với mọi $n\ge 1$.
Trong bài này mình sẽ kí hiệu $(u,v)$ thay cho $\text{UCLN}(u,v)$.
Đặt $b_1=a_1$, giả sử đã xác định được $b_k$ với mọi $k<n$. Như vậy cần xác định $b_n$, đặt
\[b_n:=\frac{a_n}{\prod_{d\mid n,d<n}b_d}.\]
Với cách xác định này thì $b_n$ thỏa mãn hệ thức đề cho, tuy nhiên chưa chắc vụ có phải số nguyên hay không, bước tiếp theo ta sẽ chứng minh $b_n$ nguyên. Giả sử $b_n\notin \mathbb{Z}$, khi đó tồn tại các số nguyên $A,B$ và số nguyên tố $p$ sao cho
\[b_n=\frac{A}{p\cdot B}\quad\text{và}\quad (A,p\cdot B)=1.\]
Nhận xét. Với $i<j<n$ sao cho $(b_i,b_j)>1$ thì $i\mid j$.
Đặt tập hợp $I=\{i<n:i\mid n\ \text{và}\ p\mid b_i\}$, dựa vào nhận xét trên suy ra mọi phần tử của $I$ đều là ước của $i_m=\max_{i\in I}i$. Cuối cùng ta quan tâm đến $a_{i_m}$, vì $i_m\mid n$ nên $\frac{a_n}{a_{i_m}}\in \mathbb{Z}$. Mặt khác
\[\frac{a_n}{a_{i_m}}=b_n\prod_{\substack{d\mid n\\d\nmid i_m}}b_d=\frac{A\cdot\prod_{d\mid n,d\nmid i_m}b_d}{p\cdot B}\]
không thể là số nguyên vì tử số không chia hết cho $p$.
Ghi chú: Hình dáng bài này cũng từng xuất hiện trong hai kì thi là Iran 2001 và chọn đội tuyển Trung Quốc 2009.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 03-12-2022 - 16:16
- perfectstrong, hxthanh, DOTOANNANG và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số, số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh