Chủ đề này có 2 trả lời

[nmlinh16]

1 - GIỚI THIỆU

 

Một định lý quen thuộc nói rằng mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được (một cách duy nhất) dưới dạng hàm đa thức theo các đa thức đối xứng sơ cấp. Cụ thể, nếu ta xét tác động hiển nhiên của nhóm đối xứng $S_n$ trên đại số đa thức $K[x_1,\ldots,x_n]$ (với $K$ là một trường tùy ý) thì ta có đẳng cấu đại số $$K[y_1,\ldots,y_n] \to K[x_1,\ldots,x_n]^{S_n} := \{f \in K[x_1,\ldots,x_n]: \forall \sigma \in S_n, \sigma \cdot f = f\}$$ $$y_i \mapsto e_i,$$ trong đó $e_i$ là đa thức đối xứng sơ cấp thứ $i$, được định nghĩa bởi $$\begin{align*} e_1 & = x_1 + \cdots + x_n, \\ e_2 & = \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j, \\ \vdots \\ e_n & = x_1\cdots x_n.\end{align*}$$

Dễ thấy trong trường hợp trên, nhóm $S_n$ tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ bằng các đẳng cấu $K$-đại số phân bậc. Lý thuyết bất biến của nhóm hữu hạn quan tâm đến bài toán tổng quát: cho $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn (một nhóm con của $\text{GL}_n(K)$), nó tác động lên không gian các đa thức thuần nhất bậc 1 (sinh bởi $x_1,\ldots,x_n$), vì thế tác động lên $K[x_1,\ldots,x_n]$ một cách tự nhiên. Ta biết gì về đại số con bất biến $K[x_1,\ldots,x_n]^G$?

 

Về mặt tính toán toán, người ta quan tâm đến các câu hỏi sau.

1. Tìm một hệ sinh (theo nghĩa $K$-đại số) $f_1,\ldots,f_m$ cho $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là ta có toàn cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] \to K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Ta sẽ thấy rằng hệ sinh như vậy luôn tồn tại theo định lý hữu hạn Hilbert, và kết quả vẫn đúng nếu thay điều kiện $G$ hữu hạn bằng reductive. Ngược lại, khi $G$ không reductive thì Nagata đã đưa ra một ví dụ nổi tiếng rằng đại số $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ không nhất thiết hữu hạn sinh).
2. Giả sử $f_1,\ldots,f_m$ là một hệ sinh của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$, tìm quan hệ đại số giữa các phần tử sinh $f_i$ (các đa thức $g_1,\ldots,g_k \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $g_1(f_1,\ldots,f_m) = \ldots = g_k(f_1,\ldots,f_m) = 0$, các syzygy), tức là ta có đẳng cấu $$K[y_1,\ldots,y_m] / \left\langle g_1,\ldots,g_m \right\rangle \cong K[x_1,\ldots,x_n]^G, \qquad y_i \mapsto f_i.$$ (Tồn tại một hệ hữu hạn syzygy theo định lý cơ sở Hilbert).
3. Cho một đa thức bất biến $f \in K[x_1,\ldots,x_n]^G$, mô tả $f$ dưới dạng hàm đa thức theo các phần tử sinh, tức là tìm đa thức $g \in K[y_1,\ldots,y_m]$ sao cho $f = g(f_1,\ldots,f_m)$.

Các bài toán trên đều có lời giải bằng cách dùng cơ sở Gröbner.

 

Ở bài này, mình đề cập đến một số tính  Để đơn giản, người ta thường xét trường hợp $K$ là một trường đóng đại số với đặc số 0, ký hiệu bởi $\mathbb{C}$. $G$ luôn là một nhóm con hữu hạn của $\text{GL}_n(\mathbb{C})$.

 

 

2 - TÍNH HỮU HẠN SINH

 

Ở mục này, ta chứng minh

 

Định lý hữu hạn Hilbert. $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh.

 

Trước hết, nhận xét rằng chiều Krull của $K[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$. Thật vậy, thêm biến mới $t$ và xét các đa thức ẩn $t$ $$P_i(t) = \prod_{\sigma \in G} (t - g \cdot x_i)$$ với $i = 1,\ldots,n$. Dễ thấy $P_i \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$, $P_i$ là đa thức đơn khởi (monic) và $t = x_i$ là một nghiệm của $t$. Vậy $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một mở rộng nguyên của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ (hay $\mathbb{C}(x_1,\ldots,x_n)$ là một mở rộng đại số của trường các thương của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).

Ý tưởng ở trên là xuất phát từ đa thức $t - x_i$, sau đó lấy tích của các $\sigma \cdot (t - x_i) = t - \sigma \cdot x_i$ với $\sigma \in G$ để thu được một phần tử của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G[t]$. Điều này gợi ý rằng việc lấy tích (hoặc tổng, hoặc trung bình...) theo $G$-quỹ đạo là một thao tác tự nhiên để thu được các đa thức bất biến.

 

Định nghĩa. Toán tử Reynolds $(-)^\ast: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ được định nghĩa bởi $$f \mapsto f^\ast := \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \sigma \cdot f.$$

Dễ thấy toán tử Reynolds thỏa mãn các tính chất sau.

1. $f^\ast \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ với mọi $f \in f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ và $f^\ast = f$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, tức là $(-)^\ast$ là một phép chiếu lên $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$).
2. $(fg)^\ast = f g^\ast$ với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ và $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$, tức là $(-)^\ast$ là một đồng cấu $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$-module.

Trong các chứng minh về sau, ta chỉ cần sử dụng 2 tính chất này của toán tử Reynolds. Nếu $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm Lie compact (nói riêng, nó reductive) thì ta có thể định nghĩa $$f^\ast: = \int_G (\sigma \cdot f) d\sigma,$$ với $d\sigma$ là độ đo xác suất Haar trên $G$. Toán tử $(-)^\ast$ cũng thỏa mãn 2 tính chất trên nên nó sẽ đóng vai trò như toán tử Reynolds trong trường hợp $G$ hữu hạn.

 

Chứng minh Định lý hữu hạn Hilbert. Xét $I$ là ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương. Theo định lý cơ sở Hilbert, tồn tại các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương $f_1,\ldots,f_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $$I = \left\langle f_1,\ldots,f_m \right\rangle.$$ Ta chứng minh rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$. Giả sử phản chứng rằng tồn tại $g \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \setminus \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, thế thì ít nhất một thành phần thuần nhất của $g$ cũng không nằm trong $\mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, nên ta có thể giả sử $g$ thuần nhất. Chọn $g$ có bậc nhỏ nhất (và thuần nhất) như vậy. Vì $g \in I$ nên ta có thể viết $$g = g_1f_1 + \cdots g_m f_m$$ với $g_1,\ldots,g_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$. So sánh thành phần thuần nhất bậc $\deg(g)$ ở hai vế, ta có thể giả sử rằng mỗi đa thức $g_i$ thuần nhất bậc $\deg(g) - \deg(f_i) < \deg(g)$. Áp dụng toán tử Reynolds lên hai vế, ta được $$g = g_1^\ast f_1 + \cdots + g_m^\ast f_m.$$ Khi đó mỗi đa thức $g_i^\ast$ là bất biến và thuần nhất với bậc $\deg(g_i) < \deg(g)$, nên theo cách chọn $g$ thì $g_1^\ast,\ldots,g_m^\ast \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, suy ra $g \in \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$, mâu thuẫn. $\square$

 

Theo chứng minh trên, ta thấy rằng một hệ sinh của ideal $I$ sẽ tự động là một hệ sinh của đại số con $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$.

 

 

3 - CÔNG THỨC MOLIEN

 

Ta muốn đếm số bất biến (độc lập tuyến tính) bậc $d$ cho trước. Ta có thể làm điều này bằng các tính chuỗi Hilbert $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^\infty \dim(\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G_d) t^d$$ của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, trong đó $(-)_d$ chỉ thành phần thuần nhất bậc $d$.

 

Bổ đề. Cho $V$ là một không gian vector và $G$ là một nhóm con hữu han của $\text{GL}(V)$. Ký hiệu bởi $V^G = \{v \in V: \forall \sigma \in G, \qquad \}$ Khi đó $$\dim(V^G) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma)$$ ($\text{Tr}$ chỉ vết của tự đồng cấu).

 

Chứng minh. Xét trung bình hóa $$\pi = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \sigma: V \to V.$$ Dễ thấy $\pi(v) \in V^G$ với mọi $v \in V$ và $\pi(v) = v$ với mọi $v \in V^G$. Nói riêng, $\pi^2 = \pi$, hay $\pi$ là phép chiếu lên $V^G$. Vì thế $\pi$ chéo hóa được với các giá trị riêng là $0$ hoặc $1$. Do đó $\dim(V^G) = \text{rank}(\pi) = \text{Tr}(\pi) = \dfrac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma).$ $\square$
 

Công thức Molien. Chuỗi Hilbert của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ được cho bởi $$\Phi_G(t) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t \sigma)}.$$

Chứng minh. Cố định $\sigma \in G$. Với mỗi $d \ge 0$, ta có $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d = S^d \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ (ký hiệu $S^d$ chỉ lũy thừa đối xứng bậc $d$. Ký hiệu $\sigma_d = S^d\sigma: \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d \to \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ là tác động của $\sigma$ trên thành phần thuần nhất bậc $d$. Theo bổ đề trên, ta cần tính $\text{Tr}(\sigma_d)$. Vì $\sigma^{|G|} = \text{id}$ nên $\sigma$ chéo hóa được, gọi $v_1,\ldots,v_n$ là một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_1$ gồm các vector riêng của $\sigma$, với các giá trị riêng tương ứng là $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Dễ thấy các $\sigma_d$ cũng chéo hóa được: Các vector $$v_{i_1}\cdots v_{i_d},$$ với $(i_1,\ldots,i_d) \in \{1,\ldots,n\}^n$ chạy trên các bộ sao cho $1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n$, tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]_d$ với các giá trị riêng tương ứng $\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}$. Từ đây ta có $$\begin{align*} \sum_{d = 0}^{\infty} \text{Tr}(\sigma_d) & = \sum_{d = 0}^{\infty} \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_d \le n} \lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_d}t^d \\ & = (1 + \lambda_1t + \lambda_1^2t^2 + \cdots) \cdots (1 + \lambda_nt + \lambda_n^2t^2 + \cdots) \\ & = \frac{1}{(1 - \lambda_1 t) \cdots (1 - \lambda_n t)} \\ & = \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}. \end{align*}$$ Theo bổ đề trên, ta có $$\Phi_G(t) = \sum_{d = 0}^{\infty} \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \text{Tr}(\sigma_d) = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 05-12-2022 - 20:42
Bỏ dấu chấm đầu tiêu đề

[nmlinh16]

4 - TÍNH COHEN-MACAULEY

 

Trong trường hợp $G = S_n$ là nhóm đối xứng (nhóm các ma trận hoán vị), ta biết rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^{S_n}$ là một đại số đa thức (sinh bởi các đa thức đối xứng sơ cấp). Với nhóm ma trận hữu hạn $G$ tùy ý thì điều này không còn đúng, tuy nhiên ta có một tính chất gần tốt như vậy, nó cho ta một phân tích tương đối đơn giản của đại số con bất biến.

 

Cho $R$ là một $\mathbb{C}$-đại số phân bậc với chiều Krull bằng $n$. Ký hiệu bởi $R_d$ thành phần thuần nhất bậc $d$ của $R$ với mỗi $d \ge 0$. Theo bổ đề chuẩn hóa Noether, tồn tại $n$ đa thức thuần nhất bậc dương $\theta_1,\ldots,\theta_n \in R$ sao cho $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module hữu hạn sinh (nói riêng, $\theta_1,\ldots,\theta_n$ độc lập đại số). Một hệ $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ như vậy được gọi là một hệ tham số thuần nhất của $R$.

 

Định lý - Định nghĩa. Hai điều kiện sau đây là tương đương.

1. Với một hệ tham số thuần nhất $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ nào đó, $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module tự do (hạng hữu hạn).
2. Với mọi hệ tham số thuần nhất $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$, $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module tự do (hạng hữu hạn).

Nếu một trong hai (vì thế, cả hai) điều kiện trên được thỏa mãn, ta gọi $R$ là một vành Cohen-Macauley.

 

Khi $R$ là một vành Cohen-Macauley và $\theta_1,\ldots,\theta_n$ là một hệ tham số thuần nhất, các phần tử $\eta_1,\ldots,\eta_k \in R$ tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module $R$ khi và chỉ khi chúng tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}$-không gian vector $R  / \left\langle\theta_1,\ldots,\theta_n\right\rangle$. Phân tích $$R = \bigoplus_{i=1}^k \eta_i \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$$ được gọi là phân tích Hironaka của vành Cohen-Macauley $R$.

 

Tổng quát hơn, một dãy phần tử $\theta_1,\ldots,\theta_n$ của $R$ được gọi là dãy chính quy nếu $\theta_i$ không phải ước của $0$ trong vành thương $R / \left\langle \theta_1,\ldots,\theta_{i-1} \right\rangle$ với $i=1,\ldots,n$. Giả sử $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ là một hệ tham số thuần nhất. Khi đó nó là một dãy chính quy khi và chỉ khi $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module tự do. Thật vậy, nếu $\theta_1,\ldots,\theta_n$ là một dãy chính quy, chọn các phần tử $\eta_1,\ldots,\eta_k \in R$ sao cho chúng tạo thành một cơ sở của $\mathbb{C}$-không gian vector $R  / \left\langle\theta_1,\ldots,\theta_n\right\rangle$. Thế thì $$R = \sum_{i=1}^k \eta_i \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$$ là một tổng trực tiếp (xét một ràng buộc $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-tuyến tính tùy ý rồi chiếu nó xuống thương bởi ideal $\left\langle \theta_1,\ldots,\theta_{i-1} \right\rangle$). Ngược lại, nếu $\eta_1,\ldots,\eta_k \in R$ là một cơ sở của $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module $R$ thì $\theta_1$ không phải là ước của $0$ trong $R$. Lý do là vì nếu $\theta_1 g = 0$ với $g \in R$ nào đó, ta có thể viết $g = \eta_1 f_1 + \cdots + \eta_k f_t$, với $f_1,\ldots,f_t \in \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$. Thế thì điều kiện $\theta_1 g = 0$ trở thành $\theta_1 f_1 = \cdots = \theta_1 f_t = 0$ (vì tính tự do của hệ $\eta_1,\ldots,\eta_k$), hay $f_1 = \cdots = f_t = 0$ (vì tất cả đã ở trong vành đa thức $n$ biến $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$).

 

Để chứng minh định lý trên, ta cần 2 bổ đề sau đây.

 

Bổ đề 1. Cho $a_1,\ldots,a_n$ là các số nguyên dương.

1. Một hệ $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ là hệ tham số thuần nhất khi và chỉ khi hệ $\{\theta_1^{a_1},\ldots,\theta_n^{a_n}\}$ cũng vậy.
2. Giả sử $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ là một hệ tham số thuần nhất. Khi đó $\theta_1,\ldots,\theta_n$ là dãy chính quy khi và chỉ khi $\theta_1^{a_1},\ldots,\theta_n^{a_n}$ cũng vậy.

Chứng minh. Ta có thể giả sử $\theta_1,\ldots,\theta_n$ thuần nhất và độc lập đại số. Dễ thấy $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$ là một $\mathbb{C}[\theta_1^{a_1},\ldots,\theta_n^{a_n}]$-module tự do với hạn $a_1\cdots a_n$ và cơ sở $$\{\theta_1^{b_1},\ldots,\theta_n^{b_n} : \forall i = 1,\ldots,n, 0 \le b_i < a_i\}.$$ Từ đó ta có cả 1. và 2. $\square$

 

Bổ đề 2. Cho $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ và $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$ là các hệ tham số thuần nhất. Khi đó tồn tại một tổ hợp $\mathbb{C}$-tuyến tính $\theta = \lambda_1 \theta_1 + \cdots + \lambda_n \theta_n$ sao cho $\{\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta\}$ là một hệ tham số thuần nhất.

 

Chứng minh. Đặt $S = R/\left \langle \phi_1,\ldots,\phi_{n-1} \right \rangle$ và ký hiệu bởi $T$ ảnh của $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$ trong $S$. Vì $\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}$ độc lập đại số nên $S$ có chiều Krull $1$. Vì $S$ là một $T$-module hữu hạn sinh nên $T$ cũng có chiều Krull bằng $1$. Theo bổ đề chuẩn hóa Noether, tồn tại một tổ hợp $\mathbb{C}$-tuyến tính $\theta = \lambda_1 \theta_1 + \cdots + \lambda_n \theta_n$ đồng thời là một tham số thuần nhất của  $T$. Vì $T$ là một $\mathbb{C}[\theta]$-module hữu hạn sinh nên $S$ cũng vậy, suy ra $R$ là một $\mathbb{C}[\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta]$-module hữu hạn sinh, hay $\{\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta\}$ là một hệ tham số thuần nhất của $R$. $\square$

 

Chứng minh định lý. Hiển nhiên $2. \Rightarrow 1.$ Ngược lại, giả sử ta có các hệ tham số thuần nhất $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ và $\{\phi_1,\ldots,\phi_n\}$, trong đó $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module tự do, hay $\theta_1,\ldots,\theta_n$ là một dãy chính quy. Ta cần chứng minh rằng $\phi_1,\ldots,\phi_n$ cũng là một dãy chính quy. Quy nạp theo $n$ (chiều Krull của $R$).

• Với $n = 1$. Ta có một phần tử chính quy $\theta \in R$ và một tham số thuần nhất $\phi \in R$. Nếu $\phi$ không chính quy thì $\phi u = 0$ với $u \in R \setminus \{0\}$ nào đó. Vậy $\phi$ nằm trong ideal linh tử $\text{Ann}(u)$ của $R$, suy ra $R / \text{Ann}(u)$ có chiều Krull bằng $0$, tức là một vành Artin. Từ đó $\theta^m \in \text{Ann}(u)$ với $m$ đủ lớn, suy ra $\theta^m$ là ước của $0$, mâu thuẫn với Bổ đề 1. Vậy $\phi$ chính quy.
• Xét $n > 1$. Theo Bổ đề 1, ta có thể giả sử rằng $\theta_1,\ldots,\theta_n$ có cùng bậc. Lấy $\theta$ như ở Bổ đề 2 ($\{\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta\}$ là một hệ tham số thuần nhất). Ta có thể giả sử $\theta_1,\ldots,\theta_{n-1},\theta$ là $\mathbb{C}$-độc lập tuyến tính (đánh số lại nếu cầu thiết). Thế thì $\theta_1,\ldots,\theta_{n-1},\theta$ là một dãy chính quy trong $R$, hay $R$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_{n-1},\theta]$-module tự do. Từ đó suy ra $S = R / \langle \theta \rangle$ là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_{n-1}]$-module tự do. Mặt khác, $\{\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}\}$ là một hệ tham số thuần nhất của $S$ nên nên theo giả thiết quy nạp (chiều Krull của $S$ bằng $n-1$) thì $S$ cũng là một $\mathbb{C}[\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}]$-module tự do. Từ đây suy ra $R$ là một $\mathbb{C}[\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta]$-module tự do, hay $\{\phi_1,\ldots,\phi_{n-1},\theta\}$ là một dãy chính quy trong $R$. Nói riêng, $\theta$ không là ước của $0$, hay chính quy trong $T = R / \langle \phi_1,\ldots,\phi_{n-1} \rangle$ (một vành có chiều Krull bằng 1). Theo trường hợp $n = 1$ thì $\phi_n$ cũng chính quy trong $T$ (vì nó là một tham số thuần nhất). Vậy $T$ là một $\mathbb{C}[\phi_n]$-module tự do, suỷa $R$ là một $\mathbb{C}[\phi_1,\ldots,\phi_n]$-module tự do. $\square$

 

Giả sử $R$ là vành Cohen-Macauley với phân tích Hironaka $$R = \bigoplus_{i=1}^k \eta_i \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n],$$ trong đó có thể chọn $\eta_1,\ldots,\eta_k$  thuần nhất. khi đó ta dễ dàng tính được chuỗi Hilbert của $R$ bởi công thức $$\sum_{d = 0}^\infty \dim(R_d)t^d = \frac{t^{\deg(\eta_1)} + \cdots + t^{\deg(\eta_k)}}{(1 - t^{\deg(\theta_1)}) \cdots (1 - t^{\deg(\theta_n)})}.$$

 

Bây giờ ta chứng minh định lý chính của mục này.

 

Định lý. Cho $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm ma trận hữu hạn. Đại số con bất biến $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$  là một vành Cohen-Macauley.

 

Chứng minh. Nhắc lại rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một mở rộng nguyên của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$, vì thế là một $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$-module hữu hạn sinh. Ta có phân tích $$\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] = \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \oplus U,$$ với $U = \{f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]: f = 0\}$ là hạch của toán tử Reynolds. Chiều Krull của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$, nên nó có một hệ tham số thuần nhất $\{\theta_1,\ldots,\theta_n\}$ theo bổ đề chuẩn hóa Noether. Hiển nhiên đó cũng là một hệ tham số thuần nhất của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$.

Vành $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ đương nhiên là Cohen-Macauley, nên nó là một $\mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$-module tự do (hạng hữu hạn). Từ đó ta có tổng trực tiếp $$\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]/\langle \theta_1,\ldots,\theta_n \rangle \cong (\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G / \langle \theta_1,\ldots,\theta_n \rangle) \oplus (U / \langle \theta_1,\ldots,\theta_n \rangle)$$ của các $\mathbb{C}$-không gian vector hữu hạn chiều. Chọn các đa thức thuần nhất $\eta_1,\ldots,\eta_k,\eta_{k+1},\ldots,\eta_s$ sao cho $\eta_1,\ldots,\eta_k$ là một cơ sở của $\mathbb{C}$-không gian vector $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G / \langle \theta_1,\ldots,\theta_n \rangle$ và $\eta_{k+1},\ldots,\eta_s$ là một cơ sở của $\mathbb{C}$-không gian vector $U / \langle \theta_1,\ldots,\theta_n \rangle$. Từ đây ta có phân tích Hironaka $$\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] = \bigoplus_{i=1}^{s} \eta_i \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n],$$ suy ra $$\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \bigoplus_{i=1}^{k} \eta_i \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n],$$ nên $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một vành Cohen-Macauley. $\square$

 

Trong phân tích Hironaka của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ như trên, các tham số thuần nhất $\theta_1,\ldots,\theta_n$ được gọi là các bất biến sơ cấp. Các phần tử sinh (thuần nhất) $\eta_1,\ldots,\eta_k$ được gọi là các bất biến thứ cấp. Lần lượt ký hiệu bậc của chúng bởi $d_1,\ldots,d_n$ và $e_1,\ldots,e_k$. Chuỗi Hilbert của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ khi đó được cho bởi công thức $$\Phi_G(t) = \frac{t^{e_1} + \cdots + t^{e_k}}{(1 - t^{d_1})\cdots(1 - t^{d_n})}.$$ So sánh đẳng thức trên với công thức Molien, ta được $$\frac{t^{e_1} + \cdots + t^{e_k}}{(1 - t^{d_1})\cdots(1 - t^{d_n})} = \frac{1}{|G|}\sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$ Nhân hai vế với $(1 - t)^n$ và tính giá trị hai vế tại $t = 1$, ta được $$\frac{k}{d_1 \cdots d_n} = \frac{1}{|G|},$$ vì ở vế phải, trừ ma trận đơn vị có $\det(\text{id} - t\text{id}) = (1-t)^n$ thì bội của giá trị riêng $1$ của các phần tử khác đều nhỏ hơn $n$. Từ đây ta thấy $k = \dfrac{d_1 \cdots d_n}{|G|}$, nghĩa là số bất biến thứ cấp chỉ phụ thuộc vào bậc của các bất biến sơ cấp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 04-12-2022 - 22:33

[nmlinh16]

5 - ĐỊNH LÝ CHEVALLEY-SHEPHARD-TODD

 

Ở mục này, ta trả lời câu hỏi khi nào $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ có phân tích Hironaka đơn giản nhất: $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$, tức là một đại số đa thức.

 

Chú ý rằng vì $G$ là một nhóm ma trận hữu hạn nên mọi ma trận $g \in G$ đều chéo hóa được.

 

Định nghĩa. Ta gọi một ma trận $\sigma \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một phép giả phản xạ nếu $1$ là một giá trị riêng của $\sigma$ với bội $n-1$.

 

Nói cách khác, $\sigma$ là một phép giả phản xạ nếu $\sigma \neq \text{id}$ và $\sigma$ cố định một siêu phẳng. Chẳng hạn, khi nhúng $S_n \hookrightarrow \text{GL}_n(\mathbb{C})$ (các ma trận hoán vị) thì các chuyển vị (2-chu trình) là các phép giả phản xạ, vì khối $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ có 2 giá trị riêng là $1$ và $-1$. Vậy nhóm $S_n$ được sinh bởi các phép giả phản xạ.

 

Định lý Chevalley-Shephard-Todd. Đại số con bất biến $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ là một đại số đa thức khi và chỉ khi $G$ được sinh bởi các phép giả phản xạ.

 

Chú ý rằng việc được sinh bởi các phép giả phản xạ không phải một tính chất nội tại của nhóm hữu hạn $G$, nó phụ thuộc vào phép nhúng $G \hookrightarrow \text{GL}_n(\mathbb{C})$.

 

Ta bắt đầu chứng minh điều kiện đủ.

Nếu $\sigma \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một phép giả phản xạ thì $H_{\sigma} = \sigma - \text{id}$ là siêu phẳng được cố định bởi $\sigma$. Nó được định nghĩa bởi phương trình $L_{\sigma} = 0$, với $L_{\sigma} \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là một đa thức thuần nhất bậc 1. Nhân xét rằng với mọi $f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$, đa thức $\sigma \cdot f - f$ chia hết cho $L_{\sigma}$. Thật vậy, theo định nghĩa của $H_{\sigma}$ thì $(\sigma \cdot f - f)(v) = 0$ với mọi $v \in H_{\sigma}$, nên theo Hilberts Nullstellensatz thì một lũy thừa nào đó của $\sigma \cdot f - f$ chia hết cho $L_{\sigma}$. Vì $L_{\sigma}$ bất khả quy nên bản thân $\sigma \cdot f - f$ chia hết cho $L_{\sigma}$.

 

Mệnh đề 1. Giả sử $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm ma trận hữu hạn được sinh bỏi các phép giả phản xạ. Ký hiệu bởi $I$ ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương. Nếu $h_1,\ldots,h_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ là các đa thức thuần nhất và $g_1,\ldots,g_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $h_1 g_1 + \cdots + h_m g_m = 0$ thì $h_1 \in I$, hoặc $g_1 \in \langle g_2,\ldots,g_m \rangle$.

 

Chứng minh. Quy nạp theo bậc của $h_1$.

• Nếu $h_1 = 0$ thì hiển nhiên $h_1 \in I$.
• Nếu $h_1$ là một hằng số khác $0$ thì $g_1 = -\frac{h_2}{h_1}g_2 - \cdots - \frac{h_m}{h_1}g_m \in \langle g_2,\ldots,g_m \rangle$.
• Nếu $\deg(h_1) > 0$, ta giả sử $g_1 \notin \langle g_2,\ldots,g_m \rangle$. Xét $\sigma \in G$ là một phép giả phản xạ. Với mỗi $i = 1,\ldots,m$, ta có thể viết $\sigma \cdot h_i  - h_i = L_\sigma \tilde{h}_i$, từ đó $$0 = \sigma \cdot (h_1 g_1 + \cdots + h_m g_m) - (h_1 g_1 + \cdots + h_m g_m) = L_\sigma \tilde{h}_1g_1 + \cdots + L_\sigma \tilde{h}_mg_m,$$ suy ra $\tilde{h}_1g_1 + \cdots + \tilde{h}_mg_m = 0$. Ta có $\deg(\tilde{h}_1) < \deg(h_1)$ và $g_1 \notin \langle g_2,\ldots,g_m \rangle$, nên theo giả thiết quy nạp thì hoặc $\tilde{h}_1 \in I$, suy ra $\sigma \cdot h_1  - h_1 = L_\sigma \tilde{h}_1 \in I$. Hiển nhiên $I$ ổn định dưới tác động của $G$ nên nếu $\sigma_1,\ldots,\sigma_r \in G$ là các phép giả phản xạ thì $$\sigma_1 \cdots \sigma_r \cdot h_1 - h_1 = \sigma_1 \cdots \sigma_{r-1}(\sigma_r \cdot h_1 - h_1) + \cdots + (\sigma_1 \cdot h_1 - h_1) \in I,$$ do đó $\sigma \cdot h_1 - h_1 \in I$ với mọi $\sigma \in G$, vì $G$ được sinh bởi các phép giả phản xạ. Từ đó ta có $$h_1^\ast - h_1 = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G}(\sigma \cdot h_1 - h_1) \in I,$$ suy ra $h_1 \in I$ vì $h_1^\ast$ bất biến và thuần nhất. $\square$

Chứng minh điều kiện đủ trong định lý Chevalley-Shephard-Todd. Giả sử $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ được sinh bỏi các phép giả phản xạ. Ta vẫn ký hiệu bởi $I$ ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi các đa thức bất biến thuần nhất bậc dương, thế thì tồn tại các đa thức thuần nhất bậc dương $f_1,\ldots,f_m \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ sao cho $I = \langle f_1,\ldots,f_m\rangle$ theo định lý cơ sở Hilbert. Ta đã biết (theo chứng minh của định lý hữu hạn Hilbert) rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[f_1,\ldots,f_m]$.

Chọn hệ sinh $f_1,\ldots,f_m$ (của $I$) sao cho $m$ nhỏ nhất có thể. Ta chứng minh $f_1,\ldots,f_m$ độc lập đại số trên $\mathbb{C}$ (nói riêng, $m = n$ vì chiều Krull của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$ bằng $n$). Giả sử phản chứng rằng tồn tại đa thức $g \in \mathbb{C}[y_1,\ldots,y_m] \setminus \{0\}$ sao cho $g(f_1,\ldots,f_m) = 0$ (nói riêng, $g$ khác hằng). Chọn $g$ có bậc nhỏ nhất như vậy. Hơn nữa, ta có thể giả sử rằng tồn tại số nguyên dương sao cho mọi đơn thức $y_1^{j_1} \cdots y_m^{j_m}$ xuất hiện trong $g$ thỏa mãn $j_1 \deg(f_1) + \cdots + j_m \deg(f_m) = d$ (chọn $d$ sao cho có ít nhất một đơn thức như vậy, rồi thay $g$ bởi tổng của các đơn thức như vậy của nó). Nói cách khác, khi khai triển $g(f_1,\ldots,f_m)$, các đơn thức $x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}$ nhận được đều có bậc $i_1 + \cdots + i_n = d$.

Đặt $g_i = \dfrac{\partial g}{\partial y_i}(f_1,\ldots,f_m) \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_m]^G$, $i=1,\ldots,m$. Thế thì $g_i$ thuần nhất bậc $d - \deg f_i$. Vì $g$ khác hằng nên tồn tại chỉ số $i$ sao cho $\dfrac{\partial g}{\partial y_i} \neq 0$. Hơn nữa với các chỉ số $i$ như vậy thì $\dfrac{\partial g}{\partial y_i}$ có bậc nhỏ hơn $g$ nên $g_i \neq 0$ theo cách chọn $g$.

Ký hiệu bởi $J$ ideal của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$ sinh bởi $g_1,\ldots,g_m$. Đánh số lại sao cho $g_1,\ldots,g_k$ là hệ sinh cự tiểu của $J$ $(k \le m)$. Với $k+1 \le i \le m$, viết $g_i = h_{i1}g_1 + \cdots + h_{ik} g_k$, trong đó $h_{ij} = 0$ hoặc thuần nhất bậc $\deg(g_i) - \deg(g_j) = \deg(f_j) - \deg(f_i)$. Nói riêng, $h_{ij}f_i$ thuần nhất bậc $\deg(f_j)$.

Với $s=1,\ldots,n$, ta có $$\begin{align*} 0 & = \dfrac{\partial}{\partial x_s}(g(f_1,\ldots,f_m)) \\ & = \sum_{i=1}^m g_i \dfrac{\partial f_i}{\partial x_s} \\ & = \sum_{i=1}^k g_i \dfrac{\partial f_i}{\partial x_s} + \sum_{i=k+1}^m \left(h_{i1}g_1 + \cdots + h_{ik} g_k\right) \dfrac{\partial f_i}{\partial x_s} \\ & = \sum_{i=1}^k g_i \left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_s} + \sum_{j=k+1}^m h_{ji} \dfrac{\partial f_j}{\partial x_s}\right). \end{align*}$$ Vì $g_1 \notin \langle g_2,\ldots,g_m \rangle$ nên theo Mệnh đề 1 thì $$\frac{\partial f_1}{\partial x_s} + \sum_{j=k+1}^m h_{j1} \dfrac{\partial f_j}{\partial x_s} \in I, \qquad s=1,\ldots,n.$$ Theo công thức Euler cho các đa thức thuần nhất $f_j$, ta có $$\deg(f_1)f_1 + \sum_{j=k+1}^m \deg(f_j) h_{j1} f_j = \sum_{s = 1}^n x_s \frac{\partial f_1}{\partial x_s} + \sum_{j=k+1}^m h_{j1} \sum_{s=1}^n x_s \dfrac{\partial f_j}{\partial x_s} \in \langle x_1,\ldots,x_n \rangle I.$$ Mà $I = \langle f_1,\ldots,f_m\rangle$ và các đa thức $h_{j1} f_j$ đều thuần nhất bậc $\deg(f_1)$ nên $$\deg(f_1)f_1 + \sum_{j=k+1}^m \deg(f_j) h_{j1} f_j \in \langle f_2,\ldots,f_m \rangle,$$ suy ra $f_1 \in \langle f_2,\ldots,f_m \rangle$, mâu thuẫn với việc chọn $f_1,\ldots,f_m$ là hệ sinh nhỏ nhất của ideal $I$. Vậy $f_1,\ldots,f_m$ độc lập đại số và chứng minh kết thúc. $\square$

 

Ta chuyển qua chứng minh điều kiện cần. Xét $G \subseteq \text{GL}_n(\mathbb{C})$ là một nhóm ma trận hữu hạ bất kỳ (không nhất thiết sinh bởi các phép giả phản xạ). Ta tìm khai triển Laurent cho chuỗi Hilbert $\Phi_G(t)$ của $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G$. Nhắc lại công thức Molien $$\Phi_G(t) = \frac{1}{|G|} \sum_{\sigma \in G} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$$

• Với $\sigma = \text{id}$, ta có $\frac{1}{\det(\text{id} - t\text{id})} = \frac{1}{(1-t)^n}$.
• Với $\sigma \in G$ là một phép giả phản xạ thì $\sigma$ có giá trị riêng $1$ với bội $n-1$ và một giá trị riêng đơn $\lambda \neq 1$. Khi đó $\frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)} = \frac{1}{(1-t)^{n-1}(1 - \lambda t)}$. Mặt khác, $\sigma^{-1}$ cũng là một phép giả phản xạ và $\frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma^{-1})} = \frac{1}{(1-t)^{n-1}(1 - \lambda^{-1} t)}$, do đó $$\begin{align*} \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)} + \frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma^{-1})} & = \frac{1}{(1-t)^{n-1}}\left(\frac{1}{1 - \lambda t} + \frac{1}{1 - \lambda^{-1} t}\right) \\ &= \frac{1}{(1-t)^{n-1}}\left(\frac{1}{1 - \lambda} +  \frac{1}{1 - \lambda^{-1}} + O(1-t)\right) \\ & = \frac{1}{(1-t)^{n-1}} + O((1-t)^{2-n}) \end{align*}.$$ Vì thế khi lấy tổng của $\frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)}.$ trên các phép giả phản xạ $\sigma \in G$, ta thu được $\frac{r}{2(1-t)^{n-1}} + O((1-t)^{2-n})$, với $r$ là số phép giả phản xạ trong $G$.
• Trong các trường hợp còn lại, giá trị riêng $1$ của $\sigma$ có bội $\le n-2$, nên $\frac{1}{\det(\text{id} - t\sigma)} = O((1-t)^{2-n})$.

Tóm lại $$\phi_G(t) = \frac{1}{|G|(1-t)^n} + \frac{r}{2|G|(1-t)^{n-1}} + O((1-t)^{2-n}).$$

 

 

Chứng minh điều kiện cần trong định lý Chevalley-Shephard-Todd. Giả sử $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G = \mathbb{C}[\theta_1,\ldots,\theta_n]$ là một đại số đa thức, trong đó $\theta_1,\ldots,\theta_n$ độc lập đại số và thuần nhất với bậc lần lượt là $d_1,\ldots,d_n$. Chuỗi Hilbert của nó được cho bởi $$\begin{align*} \Phi_G(t) & = \dfrac{1}{(1 - t^{d_1}) \cdots (1 - t^{d_n})} \\ & = \left(\frac{1}{d_1(1-t)} + \frac{d_1-1}{2d_1} + O(1-t) \right) \cdots \left(\frac{1}{d_n(1-t)} + \frac{d_n-1}{2d_n} + O(1-t) \right) \\ & = \frac{1}{d_1 \cdots d_n(1-t)^n} + \frac{d_1 + \cdots + d_n - n}{2d_1 \cdots d_n(1-t)^{n-1}} + O((1-t)^{2-n}) \end{align*},$$ do đó $|G| = d_1 \cdots d_n$ và $r = d_1 + \cdots + d_n - n$, với $r$ là số phép giả phản xạ trong $G$.

Ký hiệu bởi $H$ nhóm con của $G$ sinh bởi các phép giả phản xạ. Từ điều kiện cần, ta biết rằng $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^H = \mathbb{C}[\psi_1,\ldots,\psi_n]$ là một đại số đa thức, trong đó $\psi_1,\ldots,\psi_n$ độc lập đại số và thuần nhất với bậc lần lượt là $e_1,\ldots,e_n$. Hiển nhiên ta cũng có $|H| =  e_1 \cdots e_n$ và $r = e_1 + \cdots + e_n - n$, suy ra $d_1 + \cdots + d_n = e_1 + \cdots + e_n$.

Vì $\mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^G \subseteq \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]^H$ nên mỗi bất biến $\theta_i$ là một hàm đa thức theo $\psi_1,\ldots,\psi_n$. Theo tiêu chuẩn Jacobi về độc lập đại số (xem https://www.scienced...19566988371022X), ma trận $\left[\dfrac{\partial \theta_i}{\partial \psi_j} \right]$ có định thức (xem như phần tử của $\mathbb{C}[\psi_1,\ldots,\psi_n]$) khác $0$. Nói riêng, tồn tại hoán vị $\sigma \in S_n$ sao cho $\dfrac{\partial \theta_{\sigma(i)}}{\partial \psi_i} \neq 0$ với $i=1,\ldots,n$, nghĩa là $\psi_i$ xuất hiện trong $\theta_{\sigma(i)}$. Nói riêng, $e_i \le d_{\sigma(i)}$. Mà $e_1 + \cdots + e_n = d_1 + \cdots + d_n$ nên $e_i = d_{\sigma(i)}$ với $i=1,\ldots,n$, từ đó $|H| = e_1 \cdots e_n = d_1 \cdots d_n = |G|$, nên $G = H$ được sinh bởi các phép giả phản xạ. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 04-12-2022 - 22:37