Chủ đề này có 4 trả lời

[Duc91]

Tìm m là số nguyên sao cho $m(m^2+3m+2)$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-12-2022 - 16:38
Tiêu đề + LaTeX

[nhungvienkimcuong]

Tìm m là số nguyên sao cho m(m²+3m+2) là số chính phương.

Sau đây mình sẽ chứng minh $m=0$ là số tự nhiên duy nhất sao cho $m(m^2+3m+2)=m(m+1)(m+2)$ là số chính phương (SCP).

 

Cách 1

Tính chất. Với $a,b,c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $abc$ là SCP thì các số $a,b,c$ đều là SCP.

 

$\bullet$ TH1: $m$ lẻ.

Khi đó $m,m+1,m+2$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất thì $m,m+1$ đều là SCP. Do đó

\[m=a^2,m+1=b^2\implies b^2-a^2=1\implies a=0\implies m=0\ (\text{loại}).\]

$\bullet$ TH2: $m=2n$.

\[m(m+1)(m+2)=x^2\iff 4n(n+1)(2n+1)=x^2.\]

Suy ra $x$ chẵn, do đó $n(n+1)(2n+1)$ là SCP. Mặt khác $n,n+1,2n+1$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $n,n+1$ đều là SCP. Tương tự như trên thì $n=0$ nên $m=0$.

 

Cách 2

Vì $m(m+1)(m+2)=x^2$, mà $\text{UCLN}(m+1,m)=\text{UCLN}(m+1,m+2)=1$ nên

\[p\mid m+1\implies\left\{\begin{matrix}p\mid x^2\\ p\nmid m,p\nmid m+2\end{matrix}\right.\implies 2\mid v_p(m+1).\]

Do đó $m+1$ là SCP, đặt $m+1=a^2$ thì

\[m(m+2)=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1.\]

Mặt khác $m(m+2)$ cũng là SCP nên dễ dàng tìm được $a=1$, dẫn đến $m=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-12-2022 - 09:18

[Duc91]

• Mình tưởng là với m=-1, m=-2 thì cũng được mà nhỉ.

[nhungvienkimcuong]

• Mình tưởng là với m=-1, m=-2 thì cũng được mà nhỉ.

Trong bài làm mình chỉ xét với $m\ge 0$. Trường hợp $m<-2$ thì $m(m+1)(m+2)<0$ nên không thể là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-12-2022 - 09:48

[Duc91]

Với m<-2 thì không thể là số chính phương nhưng với m=-1 hoặc m=-2 thì biểu thức =0 vẫn là số chính phương mà bạn.