Tìm m là số nguyên sao cho $m(m^2+3m+2)$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-12-2022 - 16:38
Tiêu đề + LaTeX
Tìm m là số nguyên sao cho $m(m^2+3m+2)$ là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-12-2022 - 16:38
Tiêu đề + LaTeX
Tìm m là số nguyên sao cho m(m2+3m+2) là số chính phương.
Sau đây mình sẽ chứng minh $m=0$ là số tự nhiên duy nhất sao cho $m(m^2+3m+2)=m(m+1)(m+2)$ là số chính phương (SCP).
Cách 1
Tính chất. Với $a,b,c$ là các số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho $abc$ là SCP thì các số $a,b,c$ đều là SCP.
$\bullet$ TH1: $m$ lẻ.
Khi đó $m,m+1,m+2$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên theo tính chất thì $m,m+1$ đều là SCP. Do đó
\[m=a^2,m+1=b^2\implies b^2-a^2=1\implies a=0\implies m=0\ (\text{loại}).\]
$\bullet$ TH2: $m=2n$.
\[m(m+1)(m+2)=x^2\iff 4n(n+1)(2n+1)=x^2.\]
Suy ra $x$ chẵn, do đó $n(n+1)(2n+1)$ là SCP. Mặt khác $n,n+1,2n+1$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $n,n+1$ đều là SCP. Tương tự như trên thì $n=0$ nên $m=0$.
Cách 2
Vì $m(m+1)(m+2)=x^2$, mà $\text{UCLN}(m+1,m)=\text{UCLN}(m+1,m+2)=1$ nên
\[p\mid m+1\implies\left\{\begin{matrix}p\mid x^2\\ p\nmid m,p\nmid m+2\end{matrix}\right.\implies 2\mid v_p(m+1).\]
Do đó $m+1$ là SCP, đặt $m+1=a^2$ thì
\[m(m+2)=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1.\]
Mặt khác $m(m+2)$ cũng là SCP nên dễ dàng tìm được $a=1$, dẫn đến $m=0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-12-2022 - 09:18
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
- Mình tưởng là với m=-1, m=-2 thì cũng được mà nhỉ.
Trong bài làm mình chỉ xét với $m\ge 0$. Trường hợp $m<-2$ thì $m(m+1)(m+2)<0$ nên không thể là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 04-12-2022 - 09:48
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Với m<-2 thì không thể là số chính phương nhưng với m=-1 hoặc m=-2 thì biểu thức =0 vẫn là số chính phương mà bạn.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh