Đến nội dung

Hình ảnh

CM nếu $f$ liên tục và có giới hạn hữu hạn thì bị chặn trên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
xiaohuang

xiaohuang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Cho hàm số $f:\left [ a,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\left [ a,+\infty \right )$ và $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=l \in \mathbb{R}$. Chứng minh f bị chặn trên $\left [ a,+\infty \right )$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xiaohuang: 04-12-2022 - 15:20


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Do $\lim_{x\to+\infty} = l$ nên $\forall \delta > 0,\exists x_0 \geq a: |f(x) - l| < \delta,\forall x > x_0$

$\Rightarrow f(x) \leq \delta + l,\forall x > x_0$.

Đồng thời $f$ liên tục trên $[a; x_0]$ nên nó có giá trị lớn nhất là $M$ trên đoạn này.

Vậy $f$ bị chặn trên bởi $\max\{M, \delta + l\}$.



#3
xiaohuang

xiaohuang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Do $\lim_{x\to+\infty} = l$ nên $\forall \delta > 0,\exists x_0 \geq a: |f(x) - l| < \delta,\forall x > x_0$

$\Rightarrow f(x) \leq \delta + l,\forall x > x_0$.

Đồng thời $f$ liên tục trên $[a; x_0]$ nên nó có giá trị lớn nhất là $M$ trên đoạn này.

Vậy $f$ bị chặn trên bởi $\max\{M, \delta + l\}$.

Vậy còn chứng minh $f$ bị chặn dưới trên $\left \lfloor a,+\infty \right )$ thì sao ạ

 

Ta có $f$ đạt GTNN trên $\left [ a,x_{o} \right ]$ tại $m$ nên f bị chặn dưới bởi $min\left \{ m,l+\delta \right \}$ trên $\left [a,+\infty \right )$

E trình bày như vậy có đúng không ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xiaohuang: 04-12-2022 - 20:47


#4
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Vậy còn chứng minh $f$ bị chặn dưới trên $\left \lfloor a,+\infty \right )$ thì sao ạ

 

Ta có $f$ đạt GTNN trên $\left [ a,x_{o} \right ]$ tại $m$ nên f bị chặn dưới bởi $m$ trên $\left [a,+\infty \right )$

E trình bày như vậy có đúng không ạ?

Chặn dưới thì bạn chọn GTNN và ta cũng có $f(x) > l - \delta,\forall x > x_0$.



#5
xiaohuang

xiaohuang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Chặn dưới thì bạn chọn GTNN và ta cũng có $f(x) > l - \delta,\forall x > x_0$.

E cảm ơn ạ ^^






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh