Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có 4 hộp đựng bi lần lượt có sức chứa 3,5,7,8 bi. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ 19 bi giống nhau vào 4 hộp này.
2/ Có 10 người ngồi quanh 1 bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người không ngồi kế nhau.
3/ Có bao nhiêu tập con của $\left\{ 1,2,3,...,20 \right \}$ mà không chứa 2 phần tử nào có hiệu là 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 06-12-2022 - 15:35

[chanhquocnghiem]

1/ Có 4 hộp đựng bi lần lượt có sức chứa 3,5,7,8 bi. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ 19 bi giống nhau vào 4 hộp này.
2/ Có 10 người ngồi quanh 1 bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người không ngồi kế nhau.

1) Gọi số bi trong mỗi hộp lần lượt là $3-a$, $5-b$, $7-c$, $8-d$.

    Số cách bỏ bi thỏa mãn chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của hệ $\left\{\begin{matrix}a+b+c+d=4\\a\leqslant 3 \end{matrix}\right.$

    tức là bằng $C_7^3-1=34$ cách.

2) Sửa lại đề : "...Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $3$ người sao cho không có $2$ người nào trong số đó ngồi cạnh nhau ?"

     - Chọn người thứ nhất : $10$ cách.

     - Chọn $2$ người nữa sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài : $C_6^2=15$ cách.

    $\Rightarrow$ Số cách chọn là $\frac{10.15}{3}=50$ cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 06-12-2022 - 18:23

[Nobodyv3]

2/ Ý em là 3 người mà trong đó 2 người đôi một cách nhau ạ.

1/ Thế thì em làm casework :
- Hộp 3 (là hộp có sức chứa 3 bi) trống : thì trong 3 hộp kia sẽ có 1 hộp không đầy $ \longrightarrow 3$ cách.
- Hộp 3 có 1 bi: nếu thêm 2 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow $ số cách thêm 2 bi vào 3 hộp :$C_{2+3-1}^{3-1}=6$ cách
- Hộp 3 có 2 bi: nếu thêm 3 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow$ số cách thêm 3 bi vào 3 hộp :$C_{3+3-1}^{3-1}=10$ cách
- Hộp 3 có 3 bi: nếu thêm 4 bi thì 3 hộp sẽ đầy $\longrightarrow $ số cách thêm 4 bi vào 3 hộp :$C_{4+3-1}^{3-1}=15$ cách
Vậy số cách bỏ bi thỏa yêu cầu là :
$3+6+10+15=34$ cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 06-12-2022 - 22:18

[chanhquocnghiem]

3/ Có bao nhiêu tập con của $\left\{ 1,2,3,...,20 \right \}$ mà không chứa 2 phần tử nào có hiệu là 2.

Gọi $A=\left \{ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 \right \}$ và $B=\left \{ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 \right \}$

Xét một tập con thuộc $\left\{1,2,3,...,19,20 \right \}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài có $a$ phần tử thuộc $A$ và $b$ phần tử thuộc $B$

Trong đó $0\leqslant a,b\leqslant 5$.

Ta gọi số cách chọn $k$ phần tử thuộc $A$ ($u_1< u_2< ...< u_k$) sao cho $u_{i+1}-u_i> 2$ là $M_k$
Ta có $2\leqslant u_1< u_2-2< u_3-4< ...< u_k-2k+2\leqslant 22-2k$

$\Rightarrow M_k=C_{11-k}^k$

Tương tự, số cách chọn $k$ phần tử thuộc $B$ ($v_1< v_2< ...< v_k$) sao cho $v_{i+1}-v_i> 2$ cũng là $M_k=C_{11-k}^k$

Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\left ( C_{11}^0+C_{10}^1+C_9^2+C_8^3+C_7^4+C_6^5 \right )^2=20736$.