3/ Có bao nhiêu tập con của $\left\{ 1,2,3,...,20 \right \}$ mà không chứa 2 phần tử nào có hiệu là 2.
Gọi $A=\left \{ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 \right \}$ và $B=\left \{ 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 \right \}$
Xét một tập con thuộc $\left\{1,2,3,...,19,20 \right \}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài có $a$ phần tử thuộc $A$ và $b$ phần tử thuộc $B$
Trong đó $0\leqslant a,b\leqslant 5$.
Ta gọi số cách chọn $k$ phần tử thuộc $A$ ($u_1< u_2< ...< u_k$) sao cho $u_{i+1}-u_i> 2$ là $M_k$
Ta có $2\leqslant u_1< u_2-2< u_3-4< ...< u_k-2k+2\leqslant 22-2k$
$\Rightarrow M_k=C_{11-k}^k$
Tương tự, số cách chọn $k$ phần tử thuộc $B$ ($v_1< v_2< ...< v_k$) sao cho $v_{i+1}-v_i> 2$ cũng là $M_k=C_{11-k}^k$
Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\left ( C_{11}^0+C_{10}^1+C_9^2+C_8^3+C_7^4+C_6^5 \right )^2=20736$.