Giải phương trình: $32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4}=\frac{1}{27}$
Giải phương trình: $32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4}=\frac{1}{27}$
#1
Đã gửi 06-12-2022 - 18:39
#2
Đã gửi 07-12-2022 - 13:36
Trước tiên, ta chứng minh BĐT sau: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{1}{27}\left ( a+b+c \right )^{4}$.
Thật vậy, áp dụng BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ hai lần ta có:
\[a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}\left (\frac{\left ( a+b+c \right )^{2} }{3}\right )^{2}\geq \frac{1}{27}\left ( a+b+c \right )^{4}\]
Dấu "=" chỉ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Quay trở lại bài toán, ta có:
$$32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4} =\left ( 2x \right )^{4}+\left ( 2x \right )^{4}+\left ( 1-4x \right )^{4}\geq \frac{1}{27}\left ( 2x+2x+1-4x \right )^{4}=\frac{1}{27}$$
Dấu "=" chỉ xảy ra $\Leftrightarrow 2x=2x=1-4x\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$
Vậy $x=\frac{1}{6}$ là nghiệm của phương trình đã cho.
- Toan0710, Matthew James và toanhoc9 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh