Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình: $32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4}=\frac{1}{27}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Giải phương trình: $32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4}=\frac{1}{27}$



#2
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Trước tiên, ta chứng minh BĐT sau: $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{1}{27}\left ( a+b+c \right )^{4}$.

Thật vậy, áp dụng BĐT $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c \right )^{2}$ hai lần ta có:

\[a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq \frac{1}{3}\left (\frac{\left ( a+b+c \right )^{2} }{3}\right )^{2}\geq \frac{1}{27}\left ( a+b+c \right )^{4}\]

Dấu "=" chỉ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Quay trở lại bài toán, ta có:

$$32x^{4}+\left ( 4x-1 \right )^{4} =\left ( 2x \right )^{4}+\left ( 2x \right )^{4}+\left ( 1-4x \right )^{4}\geq \frac{1}{27}\left ( 2x+2x+1-4x \right )^{4}=\frac{1}{27}$$

Dấu "=" chỉ xảy ra $\Leftrightarrow 2x=2x=1-4x\Leftrightarrow x=\frac{1}{6}$

Vậy $x=\frac{1}{6}$ là nghiệm của phương trình đã cho.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh