Đến nội dung

Hình ảnh

xác suất để tích các số xuất hiện trên n con xúc xắc là một số chính phương.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Tung n con xúc xắc. Tính xác suất để tích các số xuất hiện trên n con xúc xắc là một số chính phương.
2/ Tung 10 con xúc xắc giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để tổng các số xuất hiện là một số chẵn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-12-2022 - 17:32

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Gợi ý bài 1:
Gọi $d_i$ là số con xúc xắc xuất hiện mặt $i$ thì tích các số xuất hiện là số chính phương khi và chỉ khi $d_2+d_6,d_3+d_6$ và $d_5$ là số chẵn.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Từ gợi ý trên ta xét 2 trường hợp :
a) $ d_2,d_3,d_6$ đều chẵn : ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
C(x)&=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+... \right )^2\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \right )^4\\
&=e^{2x}\left ( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )^4\\
&=\frac{1}{16}\left ( e^{6x}+4e^{4x}+6e^{2x}+e^{-2x}+4 \right )
\end{align*}$
b) $ d_2,d_3,d_6$ đều lẻ : ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
L(x)&=\left ( 1+x+\frac{x^2}{2!}+... \right )^2\left ( x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... \right )^3\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+... \right )\\
&=e^{2x}\left ( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right )^3\left ( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )\\
&=\frac{1}{16}\left ( e^{6x}-2e^{4x}-e^{-2x}+2 \right )
\end{align*}$
Suy ra :
$\begin {align*}
C(x)+L(x)&=\frac{1}{16}\left ( 2e^{6x}+2e^{4x}+6e^{2x}+6\right )\\
&=\frac{1}{8}\left ( e^{6x}+e^{4x}+3e^{2x}+3\right)\\
& =\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty }\left(6^{n}+4^{n}+3\cdot2^{n}\right )\frac {x^n}{n!}+\frac{3}{8}
\end {align*}$
Do đó xác suất cần tìm là $\boldsymbol {\frac{6^{n}+4^{n}+3\cdot2^{n}}{8\cdot6^n}\quad \text{; với $ n\geq 1.$}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-12-2022 - 15:24

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Tung n con xúc xắc. Tính xác suất để tích các số xuất hiện trên n con xúc xắc là một số chính phương.

Tích các số xuất hiện trên $n$ con súc xắc có thể viết dưới dạng $2^a.3^b.5^c$. Ta quy ước nếu các số mũ đều chẵn thì gọi là tích loại $C$ (chẵn, chỉ có loại này mới là số chính phương). Nếu chỉ có số mũ trái (hoặc giữa, hoặc phải) lẻ thì gọi là tích loại $T$ (hoặc $G$, $P$). Nếu chỉ có số mũ trái và giữa lẻ thì gọi là loại $TG$,...Nếu cả ba số mũ lẻ thì là loại $TGP$.

Xét TH gieo $k$ con súc xắc, gọi số tích loại $C$ và $P$ là $c_k$ và $p_k$. Dễ chứng minh số tích loại $T,G$ và $TG$ bằng nhau nên ta gọi số đó là $t_k$, và số tích loại $GP,TP,TGP$ bằng nhau nên gọi chung là $g_k$

Với mọi $k$ ta có $\left\{\begin{matrix}c_{k+1}=2c_k+3t_k+p_k\\t_{k+1}=4t_k+c_k+g_k\\p_{k+1}=2p_k+c_k+3g_k\\g_{k+1}=4g_k+t_k+p_k \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c_{k+1}-t_{k+1}=c_k+p_k-t_k-g_k\\g_k=t_k+p_k-c_k \end{matrix}\right.\Rightarrow c_{k+1}-t_{k+1}=2(c_k-t_k)$

Mà $c_1-t_1=1\Rightarrow c_n-t_n=2^{n-1}\Rightarrow t_n=c_n-2^{n-1}$

Tương tự, ta có $p_n=c_n-4^{n-1}$ và $g_n=c_n-2^{n-1}-4^{n-1}$

Mặt khác $c_n+3t_n+p_n+3g_n=6^n\Rightarrow c_n+3(c_n-2^{n-1})+c_n-4^{n-1}+3(c_n-2^{n-1}-4^{n-1})=6^n$

$\Rightarrow c_n=\frac{6^n+3.2^n+4^n}{8}$

Vậy xác suất cần tính là $\frac{c_n}{6^n}=\frac{6^n+3.2^n+4^n}{8.6^n}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-12-2022 - 16:59

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Tung 10 con xúc xắc. Hỏi có bao nhiêu cách để tổng các số xuất hiện là một số chẵn.

Từ con súc xắc thứ nhất đến con súc xắc thứ chín, mỗi con có $6$ cách chọn.

Dù cho tổng của $9$ con súc xắc đó là chẵn hay lẻ thì con súc xắc thứ mười cũng có $3$ cách chọn.

Vậy số cách cần tính là $3.6^9=30233088$ cách.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Một lời giải quá tinh tế! Cám ơn anh.
2/ Em viết đề bài không rõ ràng! Xin anh vui lòng giải quyết trong điều kiện là 10 con xúc xắc này giống nhau nhé anh ( Em đã sửa đề).
Em thành thật xin lỗi ạ!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Tung 10 con xúc xắc giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để tổng các số xuất hiện là một số chẵn.

Ta có $\left\{\begin{matrix}a+2b+3c+4d+5e+6f=2k\\a+b+c+d+e+f=10\\a,b,c,d,e,f\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ trong $3$ số $a,c,e$ có $1$ chẵn, $2$ lẻ hoặc cả $3$ số đó đều chẵn.

+ Hàm sinh trong TH trong $3$ số $a,c,e$ có $1$ chẵn, $2$ lẻ :

   $f(x)=(1+x^2+x^4+...+x^{10})(x+x^3+x^5+...+x^9)^2(1+x+x^2+...+x^{10})^3$

   $\left [ x^{10} \right ]f(x)=294$.

+ Hàm sinh trong TH $a,c,e$ đều chẵn :

   $g(x)=(1+x^2+x^4+...+x^{10})^3(1+x+x^2+...+x^{10})^3$

   $\left [ x^{10} \right ]g(x)=630$

$\Rightarrow$ Số cách cần tính là $3.294+630=1512$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

Ta có $\left\{\begin{matrix}a+2b+3c+4d+5e+6f=2k\\a+b+c+d+e+f=10\\a,b,c,d,e,f\geqslant 0 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow$ trong $3$ số $a,c,e$ có $1$ chẵn, $2$ lẻ hoặc cả $3$ số đó đều chẵn.
+ Hàm sinh trong TH trong $3$ số $a,c,e$ có $1$ chẵn, $2$ lẻ :
   $f(x)=(1+x^2+x^4+...+x^{10})(x+x^3+x^5+...+x^9)^2(1+x+x^2+...+x^{10})^3$
   $\left [ x^{10} \right ]f(x)=294$.
+ Hàm sinh trong TH $a,c,e$ đều chẵn :
   $g(x)=(1+x^2+x^4+...+x^{10})^3(1+x+x^2+...+x^{10})^3$
   $\left [ x^{10} \right ]g(x)=630$
$\Rightarrow$ Số cách cần tính là $3.294+630=1512$.

Thuyết phục hoàn toàn!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh