Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Một giỏ đựng 5 xoài, 6 cam, 7 táo. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 8 trái có đủ 3 loại nếu :
a) Trái cây cùng loại thì giống nhau.
b) Tất cả trái cây đều khác nhau.
2/ Có bao nhiêu tập gồm 4 số nguyên dương lẻ khác nhau $ \left \{ x_1,x_2,x_3,x_4 \right \} $ sao cho $x_1+x_2+x_3+x_4 =100$.
Added.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 07-12-2022 - 22:06

[chuyenndu]

a) hệ số $x^{8}$ của $(x+x^2+...+x^5)(x+x^2+...+x^6)(x+x^2+...+x^7)=\frac{x^3(1-x^5)(1-x^6)(1-x^7)}{(1-x)^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 07-12-2022 - 14:50

[chanhquocnghiem]

1/ Một giỏ đựng 5 xoài, 6 cam, 7 táo. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 8 trái có đủ 3 loại nếu :
a) Trái cây cùng loại thì giống nhau.
b) Tất cả trái cây đều khác nhau.

a) Số cách lấy cũng là số bộ nghiệm nguyên của hệ :

    $\left\{\begin{matrix}x+y+z=8\\x,y,z\geqslant 1\\x\leqslant 5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t+u+v=5\\t,u,v\geqslant 0\\t\leqslant 4 \end{matrix}\right.$

    Vậy số cách lấy là $C_7^2-1=20$ (Trừ đi $1$ tức là bỏ đi bộ nghiệm $(t,u,v)=(5,0,0)$)

 

b) Số cách lấy là $C_{18}^8-C_{11}^8-C_{12}^8-C_{13}^8=41811$.
 

[Nobodyv3]

a) hệ số $x^{8}$ của $(x+x^2+...+x^5)(x+x^2+...+x^6)(x+x^2+...+x^7)=\frac{x^3(1-x^5)(1-x^6)(1-x^7)}{(1-x)^3}$

Tiếp đi bạn.

[Nobodyv3]

Mình có thêm bài 2, mời các bạn tham gia.

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu tập gồm 4 số nguyên dương lẻ khác nhau $ \left \{ x_1,x_2,x_3,x_4 \right \} $ sao cho $x_1+x_2+x_3+x_4 =100$.

Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu tập gồm $4$ số nguyên dương lẻ khác nhau sao cho tổng của chúng bằng $100$ ?"

Nếu đúng là vậy, mình xin giải như sau

--------------------------------------------------------------------

$(2y_1+1)+(2y_2+1)+(2y_3+1)+(2y_4+1)=100\Leftrightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=48$ ($0\leqslant y_1< y_2< y_3< y_4$)

Dễ thấy $y_3\leqslant 23$. Xét $2$ trường hợp :

$\textbf{TH1}$ ($y_3\leqslant 12$) : Số tập là $C_{13}^3$ (Chọn $3$ số tự nhiên phân biệt nhỏ hơn $13$ cho $y_1,y_2,y_3$)

$\textbf{TH2}$ ($13\leqslant y_3\leqslant 23$)

Đặt $y_3=k$; $y_1+y_2=s$. Khi $k$ cố định thì $s$ có thể chạy từ $1$ đến $47-2k$.

Mỗi phương trình $y_1+y_2=s$ có $\left \lfloor \frac{s+1}{2} \right \rfloor$ nghiệm thỏa mãn $y_1< y_2$.

Nhưng nếu $s\geqslant k$ thì phải bỏ đi s-k+1 nghiệm (vì những nghiệm đó không thỏa mãn $y_2< y_3$)

Vậy với $y_3=k$ thì số tập thỏa mãn là $\left \lfloor \frac{47-2k+1}{2} \right \rfloor^2-\left [ 1+2+...+(47-2k-k+1) \right ]=(24-k)^2-C_{49-3k}^2$

$\Rightarrow$ Số tập thỏa mãn trong TH2 là :

$\sum_{k=13}^{23}\left [ (24-k)^2-C_{49-3k}^2 \right ]=\sum_{k=1}^{11}\left ( k^2-C_{3k-23}^2 \right )=\frac{11.12.23}{6}-(C_4^2+C_7^2+C_{10}^2)=434$

Số tập thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{13}^3+434=720$.