2/ Có bao nhiêu tập gồm 4 số nguyên dương lẻ khác nhau $ \left \{ x_1,x_2,x_3,x_4 \right \} $ sao cho $x_1+x_2+x_3+x_4 =100$.
Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu tập gồm $4$ số nguyên dương lẻ khác nhau sao cho tổng của chúng bằng $100$ ?"
Nếu đúng là vậy, mình xin giải như sau
--------------------------------------------------------------------
$(2y_1+1)+(2y_2+1)+(2y_3+1)+(2y_4+1)=100\Leftrightarrow y_1+y_2+y_3+y_4=48$ ($0\leqslant y_1< y_2< y_3< y_4$)
Dễ thấy $y_3\leqslant 23$. Xét $2$ trường hợp :
$\textbf{TH1}$ ($y_3\leqslant 12$) : Số tập là $C_{13}^3$ (Chọn $3$ số tự nhiên phân biệt nhỏ hơn $13$ cho $y_1,y_2,y_3$)
$\textbf{TH2}$ ($13\leqslant y_3\leqslant 23$)
Đặt $y_3=k$; $y_1+y_2=s$. Khi $k$ cố định thì $s$ có thể chạy từ $1$ đến $47-2k$.
Mỗi phương trình $y_1+y_2=s$ có $\left \lfloor \frac{s+1}{2} \right \rfloor$ nghiệm thỏa mãn $y_1< y_2$.
Nhưng nếu $s\geqslant k$ thì phải bỏ đi s-k+1 nghiệm (vì những nghiệm đó không thỏa mãn $y_2< y_3$)
Vậy với $y_3=k$ thì số tập thỏa mãn là $\left \lfloor \frac{47-2k+1}{2} \right \rfloor^2-\left [ 1+2+...+(47-2k-k+1) \right ]=(24-k)^2-C_{49-3k}^2$
$\Rightarrow$ Số tập thỏa mãn trong TH2 là :
$\sum_{k=13}^{23}\left [ (24-k)^2-C_{49-3k}^2 \right ]=\sum_{k=1}^{11}\left ( k^2-C_{3k-23}^2 \right )=\frac{11.12.23}{6}-(C_4^2+C_7^2+C_{10}^2)=434$
Số tập thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{13}^3+434=720$.