Chủ đề này có 6 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 14 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho số bi ở hộp cuối cùng không nhiều hơn tổng số bi ở 3 hộp kia.
2/ Tung n con xúc xắc. Hỏi xác suất để tổng các mặt là bội số của k.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 08-12-2022 - 18:35

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 14 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho số bi ở hộp cuối cùng không nhiều hơn tổng số bi ở 3 hộp kia.

Gọi số bi ở hộp cuối cùng là $k$ ($0\leqslant k\leqslant 7$) $\Rightarrow x+y+z=14-k\rightarrow$ Có $C_{16-k}^2$ nghiệm nguyên không âm

Vậy số cách là $C_9^2+C_{10}^2+C_{11}^2+...+C_{16}^2=C_{17}^3-C_9^3=596$.

[Nobodyv3]

1/ Nếu giải bằng hàm sinh thì sao anh nhỉ...

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 14 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho số bi ở hộp cuối cùng không nhiều hơn tổng số bi ở 3 hộp kia.

Ta có hàm sinh $f(x)=(1+x+x^2+...+x^{14})^3=\left ( \frac{1-x^{15}}{1-x} \right )^3=(1-3x^{15}+3x^{30}-x^{45})\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+2}^2x^k$

Với $k$ từ $7$ đến $14$ ta có $\left [ x^k \right ]f(x)=C_{k+2}^2$

Vậy số cách là $\sum_{k=7}^{14}C_{k+2}^2=C_9^2+C_{10}^2+...+C_{16}^2=C_{17}^3-C_9^3=596$.

[Nobodyv3]

1/Em tính phần bù. Gọi $z_i$ là số bi trong hộp $i$ và đặt $z^{'}=z_4-z_1-z_2-z_3\geq 1$ thì :
$\begin {cases}
z_1+z_2+z_3+z_4&=14\\
z_1+z_2+z_3 \geq z_4;z_i\geq 0
\end{cases} \Longrightarrow \begin {cases}
2z_1+2z_2+2z_3+z^{'}&=14\\
z_1,z_2,z_3 \geq 0; \\
z^{'}= z_4-z_1-z_2-z_3 \geq 1
\end{cases}$
Ta có hàm sinh :
$f(z)=\frac{1}{(1-z^2)^3}\frac{z}{1-z}$ suy ra hàm sinh cho số cách bỏ thỏa yêu cầu là :
$g(z)=\frac{1}{(1-z)^4}-\frac{1}{(1-z^2)^3}\frac{z}{1-z}$
Vậy số cách bỏ thỏa yêu cầu là :
$\Longrightarrow \left[z^{14}\right]g(z)=596$

[chanhquocnghiem]

1/Em tính phần bù. Gọi $z_i$ là số bi trong hộp $i$ và đặt $z^{'}=z_4-z_1-z_2-z_3\geq 1$ thì :
$\begin {cases}
z_1+z_2+z_3+z_4&=14\\
z_1+z_2+z_3 \geq z_4;z_i\geq 0
\end{cases} \Longrightarrow \begin {cases}
2z_1+2z_2+2z_3+z^{'}&=14\\
z_1,z_2,z_3 \geq 0; \\
z^{'}= z_4-z_1-z_2-z_3 \geq 1
\end{cases}$
Ta có hàm sinh :
$f(z)=\frac{1}{(1-z^2)^3}\frac{z}{1-z}$ suy ra hàm sinh cho số cách bỏ thỏa yêu cầu là :
$g(z)=\frac{1}{(1-z)^4}-\frac{1}{(1-z^2)^3}\frac{z}{1-z}$
Vậy số cách bỏ thỏa yêu cầu là :
$\Longrightarrow \left[z^{14}\right]g(z)=596$

Nếu $z'=z_4-z_1-z_2-z_3$ thì $z'\leqslant 0$ chứ ?
 

[Nobodyv3]

Nếu $z'=z_4-z_1-z_2-z_3$ thì $z'\leqslant 0$ chứ ?

Em tính phần bù. Tức là em xét khi $z_4>z_1+z_2+z_3\rightarrow z_4=z^{'}+z_1+z_2+z_3$ với $z^{'}\geq 1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 09-12-2022 - 15:44