Đến nội dung

Hình ảnh

Cho đa giác đều 24 cạnh $A_{1}A_{2}...A_{23}A_{24}$. Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng không phải là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đ


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Cho đa giác đều 24 cạnh $A_{1}A_{2}...A_{23}A_{24}$. Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng không phải là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đỉnh của đa giác trên?



#2
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông.  Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên. 

(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu  :D  :D )


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#3
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Để tạo thành tam giác vuông thì 1 cạnh của tam giác phải là đường kính đa giác đều. Khi chọn 1 cạnh là đường kính thì sẽ còn 22 điểm còn lại để tạo thành 22 tam giác vuông.  Mỗi một đường kính khi tạo thành 22 tam giác vuông thì sẽ có 2 tam giác vuông cân. Đa giác đều có 24 cạnh thì sẽ có 24 : 2 = 12 đường kính. Vậy nên có tất cả 20 x 12 = 240 tam giác vuông nhưng không phải vuông cân được tạo bởi các đỉnh của đa giác trên. 

(P/s: tui không chắc đoạn 2 tam giác vuông cân đâu  :D  :D )

Do đa giác này là đa giác đều $24$ cạnh nên giả sử có $1$ đường tròn đi qua $24$ đỉnh đó

Với mỗi đường kính tạo bởi $2$ đỉnh thì nó sẽ chia đường tròn đó thành $2$ cung 

Trong $2$ cung đó đều có $1$ điểm là điểm nằm chính giữa sao cho điểm đó cách đều $2$ mút của đường thẳng chọn làm đường kính và tạo thành tam giác cân.

Hai cung có $2$ điểm chính giữa nên tạo được $2$ tam giác cân.

Yea, Theo mk thì đó là lí do tại sao có đc $2$ tam giác cân.

Nếu bn có cách suy nghĩ hay hơn chia sẻ nha @.@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 14-12-2022 - 20:24


#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Với mỗi đường kính tạo bởi $2$ đỉnh thì nó sẽ chia đường tròn đó thành $2$ cung (có thể không bằng nhau)

Đường kính nào mà không chia đường tròn làm hai cung bằng nhau?

 

Đánh số lại các đỉnh của đa giác đều $P$ đã cho là $A_0, A_1, \ldots, A_{23}$ và quy ước $A_{24k + i} \equiv A_i$, thì số đo cung $A_i A_{i+1}$ là $\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$ ($P$là đa giác đều).

Với mọi $i$, đoạn thẳng $A_i A_{i + 12}$ sẽ là đường kính. Chọn một đỉnh $A_j$ khác với $A_i$ và $A_{i + 12}$, thì $A_jA_iA_{i+12}$ sẽ là tam giác vuông.

Để $A_jA_iA_{i+12}$ vuông cân thì số đo cung $A_i A_j$ bằng $\frac{\pi}{2} = 3 \times \frac{\pi}{12}$, tức là $j = i \pm 3$.

Tức là trong số $22$ cách chọn đỉnh $A_j$, sẽ có hai đỉnh $A_{j_1}$ và $A_{j_2}$ không thỏa đề.

Nên với mỗi đường kính tạo từ hai đỉnh đối diện trong $P$, ta sẽ tìm được $20$ tam giác vuông không cân.

Mà hiển nhiên hai tam giác vuông với hai cạnh huyền tạo từ đường kính khác nhau thì sẽ khác nhau.

Do đó tất cả $240 (=20 \times 12)$ tam giác vuông tìm được đều khác nhau.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Ruka

Ruka

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Đường kính nào mà không chia đường tròn làm hai cung bằng nhau?

 

Đánh số lại các đỉnh của đa giác đều $P$ đã cho là $A_0, A_1, \ldots, A_{23}$ và quy ước $A_{24k + i} \equiv A_i$, thì số đo cung $A_i A_{i+1}$ là $\frac{2\pi}{24}=\frac{\pi}{12}$ ($P$là đa giác đều).

Với mọi $i$, đoạn thẳng $A_i A_{i + 12}$ sẽ là đường kính. Chọn một đỉnh $A_j$ khác với $A_i$ và $A_{i + 12}$, thì $A_jA_iA_{i+12}$ sẽ là tam giác vuông.

Để $A_jA_iA_{i+12}$ vuông cân thì số đo cung $A_i A_j$ bằng $\frac{\pi}{2} = 3 \times \frac{\pi}{12}$, tức là $j = i \pm 3$.

Tức là trong số $22$ cách chọn đỉnh $A_j$, sẽ có hai đỉnh $A_{j_1}$ và $A_{j_2}$ không thỏa đề.

Nên với mỗi đường kính tạo từ hai đỉnh đối diện trong $P$, ta sẽ tìm được $20$ tam giác vuông không cân.

Mà hiển nhiên hai tam giác vuông với hai cạnh huyền tạo từ đường kính khác nhau thì sẽ khác nhau.

Do đó tất cả $240 (=20 \times 12)$ tam giác vuông tìm được đều khác nhau.

Cảm ơn bạn đã nhắc

T nhầm lẫn chút.

<Đã sửa>



#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Giải xong trường hợp này rồi, các bạn thử mở rộng với một đa giác đều $n$ cạnh xem?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Một đa giác đều $n$ cạnh ($n$ chẵn) sẽ có:

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh: $(n-2)\frac{n}{2}$

+) Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh trừ tam giác vuông cân: $(n-4)\frac{n}{2}$

(Công thức này không đúng đối với các đa giác đều có số cạnh là $n=4k+2$ vì khi $n=4k+2$ thì số điểm nằm trên mỗi cung mà đường kính chia ra là 2k (Không tính 2 đầu mút của đường kính) nên sẽ không có điểm nằm giữa. Vì vậy không có tam giác vuông cân nào được tạo thành). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 15-12-2022 - 22:23

Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Một đa giác đều $n$ cạnh ($n$ chẵn) sẽ có:

Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh: $(n-2)\frac{n}{2}$

Số tam giác vuông tạo thành từ các đỉnh trừ tam giác vuông cân: $(n-4)\frac{n}{2}$

(P/s: Đây là ý kiến của em thôi ạ chứ em không chắc đâu  :D  :D , còn trường hợp n lẻ nữa ạ em chưa làm được  :icon6: )

Khi $n$ lẻ thì không có đỉnh nào đối diện nhau, nên sẽ không có tam giác vuông nào cả.

Còn công thức số tam giác vuông trừ vuông cân của bạn bị sai khi $n=6$. Hãy thử suy nghĩ xem vì sao :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Khi $n$ lẻ thì không có đỉnh nào đối diện nhau, nên sẽ không có tam giác vuông nào cả.

Còn công thức số tam giác vuông trừ vuông cân của bạn bị sai khi $n=6$. Hãy thử suy nghĩ xem vì sao :D

Em cám ơn ạ. Để em sửa ạ.  :icon6:  :icon6:


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 


#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bạn sửa kiểu này thì vội vàng quá. $n=6$ không chỉ là một trường hợp cá biệt đâu. Tất cả $n$ có dạng $4k+2$ đều sẽ vậy.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
Matthew James

Matthew James

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết

Bạn sửa kiểu này thì vội vàng quá. $n=6$ không chỉ là một trường hợp cá biệt đâu. Tất cả $n$ có dạng $4k+2$ đều sẽ vậy.

Dạ vâng em cám ơn ạ  :D . Lúc em sửa thì có hơi ẩu tí em chỉ xem có một vài đa  giác đều nên không nhận ra ạ  :icon6:  :icon6:


Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty. :D 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh