Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục thỏa:

$2f(x+y)+f(2x-2y)=f(2x)+f(2y)+2f(x-y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

[Hoang72]

Kí hiệu $P(a,b)$ là phép thế $x=a; y=b$ vào phương trình hàm đã cho.

$P(0;0)\Rightarrow f(0) = 2f(0)\Rightarrow f(0) = 0$.

$\begin{aligned} P(x;-x) & \Rightarrow f(4x) = f(2x) + f(-2x) + 2f(2x),\forall x\in\mathbb R & \\ \Rightarrow f(2x) = 3f(x) + f(-x),\forall x\in\mathbb R\end{aligned}$.

Do đó phương trình hàm đã cho tương đương $$2f(x+y) + 3f(x-y) + f(y-x) = 3f(x) + f(-x) + 3f(y) + f(-y) + 2f(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$$

$$\Leftrightarrow 2f(x+y) + f(x-y) + f(y-x) = 3f(x) + 3f(y) + f(-x)+f(-y),\forall x,y\in\mathbb R$$

Ở phương trình hàm trên, thay $x$ bởi $-x$ và $y$ bởi $-y$ rồi trừ đi ta được: $f(x+y) - f(-x - y) = f(x) - f(-x) + f(y) - f(-y),\forall x,y\in\mathbb R$.

Suy ra $f(x) - f(-x)$ là hàm cộng tính. Mà $f(x) - f(-x)$ liên tục nên $f(x) - f(-x) = ax,\forall x\in\mathbb R$.

Đặt $g(x) = f(x) - \frac{ax}{2},\forall x\in\mathbb R$ thì $g(x) = g(-x),\forall x\in\mathbb R$, hay $g$ là hàm chẵn.

Đồng thời, ta vẫn có $2g(x+y) + g(2x - 2y) = g(2x) + g(2y) + 2g(x-y),\forall x,y\in\mathbb R$. $(2)$

Vì $g$ có tính chất tương tự hàm $f$ nên $g(2x) = 3g(x)+g(-x) = 4g(x),\forall x\in\mathbb R$.

Kết hợp với $(2)$, ta có $g(x+y) + g(x-y) = 2g(x) + 2g(y)$.

Thay $x = 2y$ ở trên ta có $g(3y) + g(y) = 2g(2y) + 2g(y) = 10g(y),\forall y\in\mathbb R\Rightarrow f(3y) = 9g(y),\forall y\in\mathbb R$.

Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được $g(nx) = n^2g(x),\forall x\in\mathbb R,n\in\mathbb N^*$.

Từ đó với mọi $a,b\in\mathbb N^*$ thì $g\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{g(a)}{b^2} = \frac{a^2g(1)}{b^2}\Rightarrow g(x) = x^2g(1),\forall x\in\mathbb Q^+$.

Do $g$ là hàm chẵn nên $g(x) = x^2g(1),\forall x\in\mathbb Q$.

Mặt khác, $g$ là hàm liên tục, nên $g(x) = x^2g(1),\forall x\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x) = mx^2+nx,\forall x\in\mathbb R$ với $m,n$ là các hằng số thực.

Thử lại ta thấy thoả mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 16-12-2022 - 16:07