Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính hệ số của $x^{2k+1}$ trong khai triển của $(1+x^2+x^4+x^6+...)(x^3+x^5+x^7+...)^3$
2/ Có bao nhiêu cách phát n viên bi khác nhau cho 5 đứa trẻ ( có thể có bé không có viên nào) sao cho bé thứ nhất ít bi hơn bé thứ hai và tổng số bi của 2 bé này không quá 5 viên. (Edited)
3/ Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu cách xếp 3 cặp vợ chồng thành một hàng sao cho vợ chồng không ngồi kế nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 16-12-2022 - 18:20

[chanhquocnghiem]

1/ Tính hệ số của $x^{2k+1}$ trong khai triển của $(1+x^2+x^4+x^6+...)(x^3+x^5+x^7+...)^3$

$f(x)=(1+x^2+x^4+...)(x^3+x^5+x^7+...)^3=x^9.\frac{1}{(1-x^2)^4}=x^9\sum_{m=0}^{\infty}C_{m+3}^3x^{2m}$

$\left [ x^{2k+1} \right ]f(x)=C_{\frac{2k+1-9}{2}+3}^3=C_{k-1}^3$.
 

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách phát n viên bi khác nhau cho 5 đứa trẻ sao cho bé thứ nhất ít bi hơn bé thứ hai và số bi  của 2 bé này không quá 5 viên.
3/ Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu cách xếp 3 cặp vợ chồng thành một hàng sao cho vợ chồng không ngồi kế nhau.

2/ "số bi của 2 bé này không quá 5 viên" nghĩa là "số bi của mỗi bé (trong số 2 bé này) không quá 5 viên" hay là "tổng số bi của 2 bé này không quá 5 viên" ?

 

3/ Trước hết tạm xem mỗi cặp vợ chồng là 2 chữ cái giống nhau : $AA$, $BB$ và $CC$.

    Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{x^2}{2!}-x \right )^3=\frac{x^6}{8}-\frac{3x^5}{4}+\frac{3x^4}{2}-x^3$

    Thay $x^k$ bằng $k!$, ta được $\frac{6!}{8}-\frac{3.5!}{4}+\frac{3.4!}{2}-3!=30$

    Cuối cùng, mỗi cặp vợ chồng có thể đổi chỗ cho nhau nên đáp án là $30.2^3=240$ cách.
 

[Nobodyv3]

2/ Ý em là "tổng số bi của 2 bé này không quá 5 viên" (đã sửa).

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu cách phát n viên bi khác nhau cho 5 đứa trẻ ( có thể có bé không có viên nào) sao cho bé thứ nhất ít bi hơn bé thứ hai và tổng số bi của 2 bé này không quá 5 viên. (Edited)

Số cách là :

$C_n^0(C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+C_n^3.3^{n-3}+C_n^4.3^{n-4}+C_n^5.3^{n-5})+C_n^1(C_{n-1}^2.3^{n-3}+C_{n-1}^3.3^{n-4}+C_{n-1}^4.3^{n-5})+C_n^2C_{n-2}^3.3^{n-5}=C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+(C_n^0C_n^3+C_n^1C_{n-1}^2).3^{n-3}+(C_n^0C_n^4+C_n^1C_{n-1}^3).3^{n-4}+(C_n^0C_n^5+C_n^1C_{n-1}^4+C_n^2C_{n-2}^3).3^{n-5}$

$=C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+4C_n^3.3^{n-3}+5C_n^4.3^{n-4}+16C_n^5.3^{n-5}$.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-12-2022 - 20:51

[Nobodyv3]

Số cách là :
$C_n^0(C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+C_n^3.3^{n-3}+C_n^4.3^{n-4}+C_n^5.3^{n-5})+C_n^1(C_{n-1}^2.3^{n-3}+C_{n-1}^3.3^{n-4}+C_{n-1}^4.3^{n-5})+C_n^2C_{n-2}^3.3^{n-5}=C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+(C_n^0C_n^3+C_n^1C_{n-1}^2).3^{n-3}+(C_n^0C_n^4+C_n^1C_{n-1}^3).3^{n-4}+(C_n^0C_n^5+C_n^1C_{n-1}^4+C_n^2C_{n-2}^3).3^{n-5}$
$=C_n^1.3^{n-1}+C_n^2.3^{n-2}+4C_n^3.3^{n-3}+5C_n^4.3^{n-4}+16C_n^5.3^{n-5}$.

Sao anh không dùng hàm sinh!
Ta có hàm sinh :
$\begin{align*}
f(x) &=e^{3x}\left [\left (x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}  \right )+x\left (\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\right )+\frac {x^2}{2!}.\left (\frac{x^3}{3!}  \right )\right ]\\
&=e^{3x}\left ( x+\frac {x^2}{2!}+4.\frac{x^3}{3!}+5.\frac{x^4}{4!}+16.\frac{x^5}{5!} \right )\\
\Longrightarrow \left [ x^n \right ]f(x)&=\left [ x^{n-1} \right ]e^{3x}+\left [ x^{n-2} \right ]\frac {e^{3x}}{2!}+4.\left [ x^{n-3} \right ]\frac {e^{3x}}{3!}+5.\left [ x^{n-4} \right ]\frac {e^{3x}}{4!}+16.\left [ x^{n-5} \right ]\frac {e^{3x}}{5!}\\
\Longrightarrow n!\left [ x^n \right ]f(x)&=n3^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)3^{n-2}+\frac{2}{3}n(n-1)(n-2)3^{n-3}+\frac{5}{24}n(n-1)(n-2)(n-3)3^{n-4}\\
&+\frac{2}{15}n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)3^{n-5}
\end{align*}$
Gọi $a_n$ là số cách phát n viên bi thì:
$\boldsymbol {a_n=\begin {cases}
1&n=1,\\
n3^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)3^{n-2}&n=2,\\
n3^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)3^{n-2}+\frac{2}{3}n(n-1)(n-2)3^{n-3}&n=3,\\
n3^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)3^{n-2}+\frac{2}{3}n(n-1)(n-2)3^{n-3}+\frac{5}{24}n(n-1)(n-2)(n-3)3^{n-4}&n=4,\\
n3^{n-1}+\frac{1}{2}n(n-1)3^{n-2}+\frac{2}{3}n(n-1)(n-2)3^{n-3}+\frac{5}{24}n(n-1)(n-2)(n-3)3^{n-4}+\frac{2}{15}n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)3^{n-5}&n\geq 5.
\end{cases}}$