Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm hệ số của $x^{2}$ trong $P_{2}(x)$ và trong $P_{n}(x)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Saturina

Saturina

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Cho dãy các đa thức $P_{0}(x)=x-2$; $P_{n}(x)=(P_{n-1}(x))^{2}-2$ với mọi $n\geq 1$. Tìm hệ số của $x^{2}$ trong $P_{2}(x)$ và trong $P_{n}(x)$


$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$ :(
:( :( 

 

$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$

 


#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Ta có $P_1(x) = (x-2)^2 - 2=x^2 - 4x + 2$.

Đặt $a_n,b_n,c_n$ lần lượt là hệ số tự do, hệ số của $x$ và hệ số của $x^2$ trong $P_n(x)$.

Thế thì $a_1 = 2; b_1 = -4; c_1 = 1$.

Đồng thời $a_n = a_{n-1}^2 - 2,\forall n\in\mathbb N^*$.

Từ đây, dễ thấy $a_n = 2,\forall n\in\mathbb N^*$.

Đồng nhất hệ số, có $b_n = 2b_{n-1}a_{n-1},\forall n\in\mathbb N^*\Rightarrow b_n = -4^n,\forall n\in\mathbb N^*$.

Tiếp tục đồng nhất hệ số ta có $c_n = 2a_{n-1}c_{n-1} + b_{n-1}^2,\forall n\in\mathbb N^* \Rightarrow c_n = 4c_{n-1} + {16}^{n-1},\forall n\geq 2$

$\Rightarrow c_n - \frac{16^{n}}{12} = 4\left (c_{n-1} - \frac{16^{n-1}}{12}\right),\forall n\in\mathbb N^*$

$\Rightarrow c_n = \frac{4.16^{n-1}}{3} - \frac{4^{n-1}}{3},\forall n\in\mathbb N^*$.

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh