Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.



#2
UserNguyenHaiMinh

UserNguyenHaiMinh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$

$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$

$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$

Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

Do $y^2$, $x^2$ là scp 

$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$ 

$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$

Xét các TH

TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà  $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$

$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé  :D



#3
ductrong08

ductrong08

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

Hỏi tý nhé Bạn là người Thái Bình và vừa tham gia kỳ thi hsg tỉnh toán 9 đúng ko



#4
toanhoc9

toanhoc9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Hỏi tý nhé Bạn là người Thái Bình và vừa tham gia kỳ thi hsg tỉnh toán 9 đúng ko

Mình ở tỉnh Ninh Bình cơ. Mình phải làm một tập số học để ôn HSG mình chỉ còn mắc đúng bài trên nên mới hỏi không ngờ là của tỉnh Thái Bình.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc9: 18-12-2022 - 20:11





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh