Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.
Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.
#1
Đã gửi 17-12-2022 - 13:23
#2
Đã gửi 17-12-2022 - 17:05
Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.
$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$
$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$
Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
Do $y^2$, $x^2$ là scp
$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$
$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$
Xét các TH
TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$
${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$
$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé
- ThienDuc1101, Matthew James, ductrong08 và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 18-12-2022 - 19:08
Hỏi tý nhé Bạn là người Thái Bình và vừa tham gia kỳ thi hsg tỉnh toán 9 đúng ko
Mình ở tỉnh Ninh Bình cơ. Mình phải làm một tập số học để ôn HSG mình chỉ còn mắc đúng bài trên nên mới hỏi không ngờ là của tỉnh Thái Bình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc9: 18-12-2022 - 20:11
- ductrong08 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh