Chủ đề này có 6 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách viết số $10^5$ thành tích của 4 số nguyên dương (thứ tự không quan tâm).Bài này anh @chanhquocnghiem đã giải rồi, nhưng em chợt nhớ 1 cách tiếp cận khác nên muốn quay lại bài này.
2/ Có bao nhiêu tam giác cân có chu vi là 42.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số lập từ 1,3,4,6,7,9 sao cho tổng chữ số chia hết cho 7.
4/ Dùng hàm sinh để tính : Có bao nhiêu số tự nhiên 5 chữ số chia hết cho 3 mà trong đó luôn có chữ số 6.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-12-2022 - 19:46

[chanhquocnghiem]

2/ Có bao nhiêu tam giác cân có chu vi là 42.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số lập từ 1,3,4,6,7,9 sao cho tổng chữ số chia hết cho 7.

2/ Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu tam giác cân có độ dài 3 cạnh là số nguyên và có chu vi là $42$" (Phải không ?)

    Ta có $2a+b=42$ ($a,b\in N^*$ và $b< 2a$) $\Rightarrow b$ chẵn và $b< 21$

    $\Rightarrow$ Có $10$ tam giác cân thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

3/ Câu này $6$ chữ số có nhất thiết phải khác nhau từng đôi một không ?
 

[Nobodyv3]

2/ Chắc ý bạn là "Có bao nhiêu tam giác cân có độ dài 3 cạnh là số nguyên và có chu vi là $42$" (Phải không ?)
    Ta có $2a+b=42$ ($a,b\in N^*$ và $b< 2a$) $\Rightarrow b$ chẵn và $b< 21$
    $\Rightarrow$ Có $10$ tam giác cân thỏa mãn yêu cầu đề bài.
 
3/ Câu này $6$ chữ số có nhất thiết phải khác nhau từng đôi một không ?

2/ Em nhầm, cho qua bài này đi anh.
3/ Các chữ số có thể lập lại anh ạ.

[Nobodyv3]

1/ Các bạn tham khảo bài giải của anh @chanhquocnghiem tại https://diendantoanh...hành-tích-4-số/
Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng bổ đề Burnside để giải như sau:
Đặt $S=\left \{ (a,b,c,d)\mid abcd=10^5,1\leq a\leq b\leq c\leq d \right \}$ ta đi tính số phần tử của $S$. Ta có :
$abcd=10^5=2^5.5^5\Rightarrow a=2^{x_1}5^{y_1};b=2^{x_2}5^{y_2};c=2^{x_3}5^{y_3};d=2^{x_4}5^{y_4};x_1+x_2+x_3+x_4=5;y_1+y_2+y_3+y_4=5$
Theo bổ đề Burnside, ta xét các TH:
TH1: $(a)(b)(c)(d) $:
$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=5\\
y_1+y_2+y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là} \: \binom{8}{5}^2=56^2$
TH2: $(ab)(c)(d): \Rightarrow a=b\Rightarrow x_1=x_2, y_1=y_2$:
$\begin {cases}
2x_2+x_3+x_4=5\\
2y_2+y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 12\cdot12=12^2$
TH3:$(abc)(d):\Rightarrow a=b=c\Rightarrow x_1=x_2=x_3, y_1=y_2=y_3$:
$\begin {cases}
3x_3+x_4=5\\
3y_3+y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 2\cdot2=2^2$
TH4:$(ab)(cd):\Rightarrow a=b $ và $c=d\Rightarrow x_1=x_2, y_1=y_2$ và $x_3=x_4, y_3=y_4$:
$\begin {cases}
2x_2+2x_4=5\\
2y_2+2y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là}\: 0\cdot0=0$
TH5:$(abcd):\Rightarrow a=b=c=d\Rightarrow x_1=x_2=x_3=x_4, y_1=y_2=y_3=y_4$:
$\begin {cases}
4x_4=5\\
4y_4=5\\
x_i,y_i\geq 0
\end{cases}\Rightarrow \text { số nghiệm là} \: 0\cdot0=0$
Theo bổ đề Burnside ta có số cách viết thỏa yêu cầu là :
$\left | S \right |=\frac{1}{24}\left ( 56^2+6\cdot12^2+8\cdot2^2+3\cdot0+6\cdot0 \right )=\boldsymbol {168} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-12-2022 - 21:56

[chanhquocnghiem]

3/ Có bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số lập từ 1,3,4,6,7,9 sao cho tổng chữ số chia hết cho 7.

Ta có hàm sinh $f(x)=[(x+x^2+...+x^9)-(x^2+x^5+x^8)]^6=x^6\left [ \frac{1-x^9}{1-x}-\frac{x(1-x^9)}{1-x^3} \right ]^6=x^6\left [ \frac{(1-x^9)(1+x^2)}{1-x^3} \right ]^6=$

   $=x^6\sum_{i=0}^{6}C_6^i(-1)^ix^{9i}\sum_{j=0}^{6}C_6^jx^{2j}\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+5}^5x^{3k}$

$\left [ x^7 \right ]f(x)=0$.

$\left [ x^{14} \right ]f(x)=C_6^1C_7^5+C_6^4=141$.

$\left [ x^{21} \right ]f(x)=C_{10}^5+C_6^3C_8^5+C_6^6C_6^5-C_6^1C_7^5-C_6^1C_6^3=1132$.

Tương tự, $\left [ x^{28} \right ]f(x)=2655$ ; $\left [ x^{35} \right ]f(x)=2190$ ; $\left [ x^{42} \right ]f(x)=511$ ; $\left [ x^{49} \right ]f(x)=36$

Vậy đáp án là $141+1132+2655+2190+511+36=6665$ số.
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-12-2022 - 12:39

[Nobodyv3]

3/ Hàm sinh cho tổng các chữ số của các số 6 chữ số :
$f(x)=\left ( x^1+x^3+x^4+x^6+x^7+x^9 \right )^6$. Gọi $\omega$ là một căn bậc 7 nguyên thủy của đơn vị thì $\omega^7=1$ và $N=\frac{1}{7}\sum_{k=0}^{6}f(\omega ^k)$. Ta có $f(1)=6^6, \quad f(\omega) =\left ( \omega ^1+\omega ^3+\omega ^4+\omega ^6+\omega ^7+\omega ^9 \right )^6=(-\omega^5)^6=\omega ^2$ Ta thấy $f(\omega^k)$ chỉ là 1 hoán vị của $\omega^k$ với $k\in \left \{ 1,2,...,6 \right \}$ Do đó số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac{1}{7}\left ( 6^6+\sum_{k=1}^{6}\omega ^k \right )=\frac{6^6-1}{7}=\boldsymbol {6665}$

[Nobodyv3]

4/ Hàm sinh cho số các số 5 chữ số không có ràng buộc gì :
$f(x)=(x+x^2+...+x^9)(1+x+x^2+...+x^9)^4$ Hàm sinh cho số các số 5 chữ số không có chữ số 6:
$g(x)=(x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^4$ Gọi $\omega $ là một căn bậc 3 của đơn vị thì số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac{f(1)+f(\omega )+f(\omega ^2)}{3}-\frac{g(1)+g(\omega )+g(\omega ^2)}{3}  $ dễ thấy $f(\omega )=f(\omega ^2)=g(\omega )=g(\omega ^2)=0$ nên đáp án là :
$N=\frac {f(1)-g(1)}{3}=\frac {9\cdot10^4-8\cdot 9^4}{3}=\boldsymbol {12504}$