Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu số có 2022 chữ số lẻ mà chia hết cho 3.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Có bao nhiêu số có 2022 chữ số lẻ mà chia hết cho 3.
2/ Có bao nhiêu cách xếp 16 bi đỏ và 6 bi xanh thành 1 hàng sao cho đầu và cuối hàng là bi xanh và giữa 2 bi xanh là số chẵn ($\geq 2$) bi đỏ. (Các bi chỉ khác nhau về màu sắc ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 18-12-2022 - 13:33

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Có bao nhiêu cách xếp 16 bi đỏ và 6 bi xanh thành 1 hàng sao cho đầu và cuối hàng là bi xanh và giữa 2 bi xanh là số chẵn ($\geq 2$) bi đỏ. (Các bi chỉ khác nhau về màu sắc ).

Ta có hàm sinh $f(x)=(x^2+x^4+x^6+x^8)^5=x^{10}(1+x^2+x^4+x^6)^5=x^{10}\left ( \frac{1-x^8}{1-x^2} \right )^5=x^{10}(1-5x^8+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+4}^4x^{2k}$

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là $\left [ x^{16} \right ]f(x)=C_7^4=35$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
2/ Cách lập luận khác :
Ký hiệu $X$ : bi xanh ; $D$: bi đỏ thì đầu hàng luôn luôn là $X$ sau đó là $DDX$ hoặc $DDDDX$ hoặc $DDDDDDX$..v.v...được biểu diễn qua hàm sinh sau:
$\begin {align*}
f(x)&=\underbrace{x}_X(\underbrace{x^3}_{DDX}+\underbrace{x^5}_{DDDDX}+\underbrace{x^7}_{DDDDDDX}+...  )^5\\
&=x^{16}\left ( 1+x^2+x^4+... \right )^5\\
\Longrightarrow \left [ x^{22} \right ]f(x)&=\left [ x^6 \right ](1+x^2+x^4+...)^5\\
&=\left [ x^3 \right ](1+x+x^2+...)^5\\
&=\left [ x^3 \right ]\frac {1}{(1-x)^5}=\binom{3+4}{4}=\boldsymbol {35}
\end{align*}$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Nếu lấy modulo 3 thì các chữ số lẻ 1,3,5,7,9 sẽ lần lượt trở thành 1,0,2,1,0. Do đó ta có hàm sinh :
$f(x)= (x+1+x^2+x+1)^{2022}$ Gọi $\omega $ là một căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị thì $\omega ^3=1$ và số các số thỏa yêu cầu sẽ là :
$N=\frac {f(1)+f(\omega) +f(\omega ^2)}{3}$. Ta có :
$f(1)=5^{2022}\\
f(\omega )=(2+2\omega+\omega ^2)^{2022}=(1+\omega )^{2022}=\omega ^2$ Ta thấy $f(\omega^k)$ chỉ là 1 hoán vị của $\omega^k$ với $k\in \left \{ 1,2 \right \}$ Do đó số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac {5^{2022}+\omega +\omega ^2}{3}=\boldsymbol {\frac {5^{2022}-1}{3}}$
============
Nhân đây, xin nói thêm nếu n lẻ, là 2023 chẳng hạn, thì số các số chia hết cho 3 là :
$N=\frac {5^{2023}-\omega -\omega ^2}{3}=\boldsymbol {\frac {5^{2023}+1}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-12-2022 - 15:13

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh