Chủ đề này có 1 trả lời

[quockhanh12]

[Hoang72]

a) Ta chứng minh $k=2$.

Thật vậy, giả sử tồn tại vô hạn đa thức nguyên monic có bậc đôi một phân biệt, đều có hệ số của $x^0, x^1,x^2$ lần lượt là $a_0,a_1,a_2$ đều khác $0$ và mỗi đa thức bậc $m$ thì có $m$ nghiệm nguyên.

Xét đa thức $P(x)$ bậc $n$ bất kì thuộc tập các đa thức trên.

Gọi $-x_1,-x_2,...,-x_n$ là các nghiệm nguyên của $P(x)$. Dễ thấy các nghiệm này khác $0$.

Theo hệ thức Viète ta có: $\begin{cases} x_1x_2...x_n = a_0\text{ (1)} \\ \dfrac{1}{x_1} + ... + \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{a_1}{a_0} \\ \displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} \frac{1}{x_ix_j} = \dfrac{a_2}{a_0}\end{cases}$.

Từ $(1)$ ta thấy khi cho $n$ đủ lớn thì $P(x)$ chứa vô số nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng $1$.

Mặt khác ta có $\frac{1}{x_1^2} + ... + \frac{1}{x_n^2} = \left(\dfrac{1}{x_1} + ... + \dfrac{1}{x_n}\right)^2 -2\displaystyle\sum_{1\leq i < j \leq n} \frac{1}{x_ix_j} = \frac{a_1^2-2a_2a_0}{a_0^2}$ là một hằng số không phụ thuộc vào $n$.

Điều này vô lí khi cho $n\to+\infty$.

Do đó $k\leq 2$.

Khi $k=2$, ta thấy các đa thức có dạng $(x^2-1)^n . (x-1)$ luôn có chung hệ số của $x^0$ và $x^1$.

b) Đặt $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} +... + a_0$.

Xét hai trường hợp:

+) Tồn tại vô hạn số nguyên dương $a$ để $P(a)$ là luỹ thừa bậc $n$ của một số nguyên:

Xét $Q_1(x) = (nx + a_{n-1} + 1)^n - n^nP(x)$ là đa thức bậc khác $0$ và có hệ số cao nhất dương nên tồn tại $x_1$ để: $Q_1(x) > 0,\forall x > x_1$.

Tương tự xét $Q_2(x) = (nx + a_{n-1}-1)^n - n^nP(x)$ thì tồn tại $x_2$ để $Q_2(x) < 0,\forall x>x_2$.

Suy ra với mọi $x>\max\{x_1,x_2\}$ thì $(nx + a_{n-1} - 1)^n < n^nP(x) < (nx + a_{n-1}+1)^n$.

Tức theo nguyên lí kẹp phải tồn tại vô hạn $x>\max\{x_1,x_2\}$ để $n^nP(x) = (nx + a_{n-1})^n$

$\Rightarrow n^nP(x) = (nx + a_{n-1})^n,\forall x \Rightarrow P(x) = \left(x + \frac{a_{n-1}}{n}\right)^n$.

+) Tồn tại vô hạn số nguyên âm $a$ để $P(a)$ là luỹ thừa bậc $n$ của một số nguyên: Thế thì xét đa thức $R(x) = (-1)^n . P(-x)$ ta có $R$ monic và tồn tại vô hạn $a$ nguyên dương để $R(a)$ là luỹ thừa bậc $n$ của một số nguyên.