Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu cách phát 8 cuốn sách khác nhau cho 4 bạn sao cho không bạn nào có đúng 2 cuốn sách. (có thể có bạn không được cuốn nào).
2/ Tung đồng xu 15 lần thì có 6 lần mặt sấp. Tính xác suất để không xuất hiện ít nhất 5 mặt ngửa liên tiếp.
3/ Có bao nhiêu cách xếp 10 bạn vào 3 tổ A,B,C sao cho mỗi tổ ít nhất 1 bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 21-12-2022 - 13:40

[chanhquocnghiem]

1/ Có bao nhiêu cách phát 8 cuốn sách khác nhau cho 4 bạn sao cho không bạn nào có đúng 2 cuốn sách. (có thể có bạn không được cuốn nào).

Theo nguyên lý Bao hàm - Loại trừ, số cách phát là :

$4^8-C_4^1C_8^2.3^6+C_4^2C_8^2C_6^2.2^4-C_4^3C_8^2C_6^2C_4^2.1^2+C_4^4C_8^2C_6^2C_4^2C_2^2=16648$.
 

[chanhquocnghiem]

2/ Tung đồng xu 15 lần thì có 6 lần mặt sấp. Tính xác suất để không xuất hiện ít nhất 5 mặt ngửa liên tiếp.

Gọi $x_1$ là số lần ngửa trước lần sấp thứ nhất, $x_k$ là số lần ngửa giữa lần sấp thứ k-1 và lần sấp thứ $k$, $x_7$ là số lần ngửa sau lần sấp thứ sáu. Ta có $x_1+x_2+...+x_7=9$ ($x_i\geqslant 0$)

$\left | \Omega \right |=C_{15}^6$

Tính số cách xuất hiện đúng $m$ mặt ngửa liên tiếp ($5\leqslant m\leqslant 9$) :

+ Chọn "khoảng trống" có đúng $m$ mặt ngửa : $7$ cách.

+ Xếp $9-m$ mặt ngửa vào $6$ "khoảng trống" còn lại : Có $C_{14-m}^5$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách xuất hiện ít nhất $5$ mặt ngửa liên tiếp là $7(C_9^5+C_8^5+C_7^5+C_6^5+C_5^5)=7C_{10}^6$

Xác suất cần tính là $1-\frac{7C_{10}^6}{C_{15}^6}=\frac{101}{143}$.

 

[Nobodyv3]

1/ Thêm biến đếm y thì ta có hàm sinh :
$f(x,y)=\left ( 1+x+y\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}\right )^4\\
\Longrightarrow \left[x^8 \right]f(x,y)= \frac{1}{16}y^4+\frac{5}{8}y^2+\frac{21}{40}y+\frac{2081}{5040}$
Vậy :
Số cách phát sách mà không có bạn nào có đúng 2 cuốn:
$\frac {8!2081}{540}=\boldsymbol {16648}$
Số cách phát sách có 1 bạn có đúng 2 cuốn:
$\frac {8!21}{40}=21168$
Số cách phát sách có 2 bạn có đúng 2 cuốn:
$\frac {8!5}{8}=25200$
Số cách phát sách có 4 bạn có đúng 2 cuốn:
$\frac {8!}{16}=2520$

[Nobodyv3]

2/ Ta có hàm sinh cho số cách để mặt ngửa xuất hiện thỏa yêu cầu :
$ f(x)=\left (\frac {1-x^5}{1-x}\right )^7=(1-x^5)^7(1-x)^{-7}\\
\Longrightarrow \left [x^9\right]f(x)=\left [x^9\right](1-7x^5)\sum_{k\geq 0}\binom{k+6}{6}x^k=\binom{9+6}{6}-7\binom{4+6}{6}=3535$
Xác suất cần tìm :
$\frac {3535}{\binom {15}{6}}=\frac {3535}{5005}=\frac {101}{143} $

[Nobodyv3]

3/Ta có hàm sinh :
$ f(x)=\left ( x+\frac {x^2}{2!}+...+\frac {x^8}{8!} \right )^3\\
\Longrightarrow \left[x^{10}\right ]f(x)=55980$
Hoặc là :
Gọi a,b,c lần lượt là các biến biểu diễn số bạn trong tổ A,B,C thì theo nguyên lý bù trừ ta có :
$g(a,b,c)=(a+b+c)^{10}-(a+b)^{10}-(a+c)^{10}-(b+c)^{10}+a^{10}+b^{10}+c^{10}$
Đáp án là :
$g(1,1,1)=3^{10}-3.2^{10}+3.1^{10}=\boldsymbol {55980}$