Chủ đề này có 2 trả lời

[PhatPinkkk]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc khoảng $\left ( -2022;2022 \right )$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng hai số thực dương $b$ thỏa mãn $e^{b-a} = a + \ln b$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-12-2022 - 00:37
Tiêu đề

[Moon Loves Math]

Mình xin đóng góp một cách giải.

Đặt $e^{a}=k\quad(k>0)$.

Phương trình trở thành: $$\frac{e^{b}}{k}=\ln{k}+\ln{b}\quad(1)$$.

Do $k,b>0$ nên $(1)\Leftrightarrow e^{b}=k(\ln{kb})$.

Xét hàm số $f(x)=e^x-k\ln{kx}\space$ trên $(0,\infty)$.

Do đề yêu cầu tìm $a$ để phương trình ban đầu có 2 nghiệm $b$ dương phân biệt. 

Nên có thể chuyển hóa về bài toán tìm điều kiện của $k$ để đồ thị hàm số của $f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương.

Xét $f'(x)=e^x-\frac{k}{x}$ trên $(0,\infty)$. Có: $f'(x)=0\Leftrightarrow xe^x=k$.

Nếu gọi $g(x)=xe^x$ thì ta có: $g'(x)=(x+1)e^x>0\quad\forall x\in (0,\infty)$.

Vì $g(x)$ đơn điệu trên $(0, \infty)$ $\Rightarrow$ Có duy nhất một 1 nghiệm $x_{0} \in (0,\infty)$ thỏa $f'(x)=0$.

Theo cách đặt $x_{0}$ thì $x_{0}e^{x_{0}}=k$. Nên $\ln{x_0}=\ln{\frac{k}{e^{x_0}}}=\ln{k}-x_0$

Hơn nữa, do $f''(x)=e^x+\frac{k}{x^2}>0$ nên $x_{0}$ sẽ là điểm cực tiểu của $f(x)$.

Lại có: $f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương $\Leftrightarrow f(x_{0})<0$.

Điều này tương đương:  $e^{x_{0}}-k\ln{kx_{0}}<0$

                                 $\Leftrightarrow e^{x_0}-k\ln{k}-k\ln{x_0}<0$

                                 $\Leftrightarrow e^{x_0}-k\ln{k}-k\ln{k}+kx_0<0$

                                 $\Leftrightarrow x_0e^{x_0}-2kx_0\ln{k}+kx_0^2<0$

                                 $\Leftrightarrow k-2kx_0\ln{k}+kx_0^2<0$

                                 $\Leftrightarrow x_0^2-2x_0\ln{k}+1<0$

                                 $\Leftrightarrow \ln{k}>\frac{x_0^2+1}{2x_0}\geq1$

                                 $\Leftrightarrow \ln{e^a}>1$

Hay $a>1$.

Từ đó suy ra có tất cả $\fbox{2020}$ số nguyên $a$ thỏa mãn

[PhatPinkkk]

Mình vừa nghĩ ra cách này, chắc là đơn giản hơn (với mình=))) một chút.

Ta có: $e^{b-a} = a + ln$ $b \Leftrightarrow  e^{b-a} + b - a = b + ln$ $b$

Đặt $k = ln$ $b$, khi đó phương trình trên trở thành: $e^{b-a} + b - a = e^k + k$

Để ý hai vế của phương trình đều có dạng $f(t) = e^t+t$  $(t\in R)$, ta có:

$f'(t) = e^t + 1 > 0 \quad\forall$ $t\in R$

Suy ra hàm số $f(t) = e^t+t$ đồng biến trên $R$. Do đó: $f(b-a)=f(k)  \Leftrightarrow  b-a=k = ln$ $b$ $\Leftrightarrow a = b - ln$ $b$

 

Đề bài yêu cầu tìm $a$ để phương trình ban đầu có 2 nghiệm dương $b$ phân biệt. Đặt $f(x) = x - ln$ $x$ $(x>0)$, bài toán trở thành: Tìm tham số $a$ để đồ thị của $f(x)$ cắt đường thẳng $y=a$ tại 2 điểm có hoành độ dương.

Xét $f'(x)=1-\frac{1}{x}$, ta có:    $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$. Bảng biến thiên như sau: 

Từ bảng biến thiên suy ra, đồ thị của $f(x) = x - ln$ $x$ cắt đường thẳng $y=a$ tại 2 điểm có hoành độ dương với $a>1$. Vậy, có $2020$ giá trị $a$ thỏa mãn đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhatPinkkk: 24-12-2022 - 00:00