Đến nội dung

Hình ảnh

tổng các giá trị của các thẻ này là $2023$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Sorry, sau khi xem lại đề, Em thấy đề chưa rõ lắm, dễ hiểu lầm nên xin sửa lại để đề bài rõ ràng hơn ạ.
1/ Có 3 loại thẻ màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi loại có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Ngoài ra còn có 5 thẻ giống nhau được đánh số $0$.Qui ước thẻ được đánh số $k$ sẽ có giá trị là $2^k$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 xấp thẻ sao cho tổng các giá trị của các thẻ này là $2023$.
2/ Không dùng hàm sinh hãy tính : có bao nhiêu cách đổ 100 lít nước vào 4 thùng có dung tích lần lượt là 70, 45, 33 và 11 lít.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-12-2022 - 20:56

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Có 3 loại thẻ màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi loại có 10 thẻ được đánh số $2^k$ trên mỗi thẻ ($1\leq k\leq 10 $). Ngoài ra còn có 5 thẻ giống nhau được đánh số $0$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 xấp thẻ sao cho tổng các số trên các thẻ này là $2023$.

Tất cả các thẻ đều được đánh số chẵn nên KHÔNG có cách nào chọn 1 xấp thẻ có tổng các số trên thẻ là $2023$ (số lẻ).
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Em đã sửa đề cho rõ hơn rồi ạ.
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Có 3 loại thẻ màu xanh, đỏ, vàng. Mỗi loại có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Ngoài ra còn có 5 thẻ giống nhau được đánh số $0$.Qui ước thẻ được đánh số $k$ sẽ có giá trị là $2^k$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 xấp thẻ sao cho tổng các giá trị của các thẻ này là $2023$.

$2023=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^2+2^1+2^0$

(Chờ chút...

Mình định giải theo cách "truyền thống" nhưng thấy phải xét quá nhiều trường hợp và rất phức tạp. Đành phải chờ bạn giải theo phương pháp hàm sinh vậy)
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-12-2022 - 22:34

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết

$2023=2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^2+2^1+2^0$
(Chờ chút)

...10 chút cũng được anh ơi!
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Bài giải đề nghị :
Biểu diễn số cách chọn từ 0 đến 5 thẻ giống nhau có giá trị $2^0=1$ như sau:
$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5=\frac {1-x^6}{1-x}$
Biểu diễn số cách chọn thẻ đánh số từ 1 đến 10 có giá trị $2^k$ (với $1\leq k \leq 10$) như sau:
$(1+x^{2^k})^3$
Vậy ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
\frac{1-x^6}{1-x}\left[ \left (1+x^{2^1}\right )\left (1+x^{2^2}\right )...\left (1+x^{2^{10}}\right ) \right ]^3 &=\frac{1-x^6}{1-x} \left(1+x^2+x^4+...+x^{2046}\right)^3 \\
&=\frac{1-x^6}{1-x}\left ( \frac{1-x^{2048}}{1-x^2} \right )^3 \end {align*}$
$\begin {align*}
\Longrightarrow \left [ x^{2023} \right ]\frac{1-x^6}{1-x}\left ( \frac{1-x^{2048}}{1-x^2} \right )^3 &= \left [ x^{2023} \right ] \frac{1-x^6}{1-x}\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^3\\
&=\left (\left [ x^{2023} \right ]-\left [ x^{2017} \right ]\right)\sum_{i=0}^{\infty }x^i\sum_{j=0}^{\infty }\binom{-3}{j}(-x^2)^{j}\\
&=\left ( \sum_{i=0}^{2023}\left [ x^{i} \right ] -\sum_{i=0}^{2017}\left [ x^{i} \right ] \right )\sum_{j=0}^{\infty }\binom{j+2}{2}x^{2j}\\
&=\left ( \sum_{i=0}^{1011}\left [ x^{2i} \right ] -\sum_{i=0}^{1008}\left [ x^{2i} \right ] \right )\sum_{j=0}^{\infty }\binom{j+2}{2}x^{2j}\\
&=\binom{1013}{2}+\binom{1012}{2}+\binom{1011}{2}=\boldsymbol {1534699}
\end {align*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 22-12-2022 - 22:38

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#7
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Không dùng hàm sinh hãy tính : có bao nhiêu cách đổ 100 lít nước vào 4 thùng có dung tích lần lượt là 70, 45, 33 và 11 lít.

Bổ sung đề bài : "Biết rằng số lít trong mỗi thùng là số nguyên và có thể có thùng không chứa nước"

----------------------------------------------------------------

Gọi số lít nước trong các thùng 70, 45, 33 và 11 lít lần lượt là $x,y,z,t$

Trên mặt phẳng $Oxy$, kẻ các đường thẳng $x=70$, $y=45$, $x+y=100-t$ và $x+y=67-t$

Gọi $A(70;30-t)$, $B(55-t;45)$, $C(22-t;45)$, $D(67-t;0)$, $E(70;0)$

Số cách đổ cũng chính là tổng số điểm nguyên của đa giác $ABCDE$ (kể cả biên) khi $t$ chạy từ $0$ đến $11$.

Số điểm nguyên của đa giác $ABCDE$ (kể cả biên) là :

$(x_B-x_C+1)(y_B-y_A+1)+\left [ (x_B-x_C)+(x_B-x_C-1)+...+(x_E-x_D+1) \right ]=$

   $=34(16+t)+[33+32+...+(4+t)]=\frac{2198+61t-t^2}{2}$

Số cách là $\frac{1}{2}\sum_{t=0}^{11}(2198+61t-t^2)=\frac{12.2198}{2}+\frac{61.66}{2}-\frac{506}{2}=14948$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-12-2022 - 08:49

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh