Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Dãy $(u_n)_{n \geq 1}$ thỏa mãn: $u_1 = 1 ; u_{n+1} = u_n + 2^{2n-1} \cdot u^{2}_n$ với mọi $n \geq 1$

 

Tìm công thức tính $u_n$ theo $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-12-2022 - 23:03

[perfectstrong]

Dãy $(u_n)_{n \geq 1}$ thỏa mãn: $u_1 = 1 ; u_{n+1} = u_n + 2^{2n-1} \cdot u^{2}_n (1)$ với mọi $n \geq 1$

 

Tìm công thức tính $u_n$ theo $n$

Ý tưởng là làm xuất hiện một tổng bình phương. Nhân cả hai vế của (1) cho $2^{2n+1}$, ta có:\[{2^{2n + 1}}{u_{n + 1}} = {2^{2n + 1}}{u_n} + {2^{4n}}u_n^2 \Rightarrow {2^{2n + 1}}{u_{n + 1}} + 1 = {\left( {{2^{2n}}{u_n} + 1} \right)^2}\]

Tới đây ta đặt $v_n=2^{2n}u_n + 1$, ta có $v_{n+1} = v_n^2$ và $v_1=5$. Nên $v_n = 5^{2^{n-1}}$. Do đó \[{u_n} = \frac{{{5^{{2^{n - 1}}}} - 1}}{{{2^{2n}}}}\]

 

Edit: Sai mất rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-12-2022 - 15:31

[perfectstrong]

Lời giải

Ý tưởng là làm xuất hiện một tổng bình phương. Nhân cả hai vế của (1) cho $2^{2n+1}$, ta có:\[{2^{2n + 1}}{u_{n + 1}} = {2^{2n + 1}}{u_n} + {2^{4n}}u_n^2 \Rightarrow {2^{2n + 1}}{u_{n + 1}} + 1 = {\left( {{2^{2n}}{u_n} + 1} \right)^2}\]
Tới đây ta đặt $v_n=2^{2n}u_n + 1$, ta có $v_{n+1} = v_n^2$ và $v_1=5$. Nên $v_n = 5^{2^{n-1}}$. Do đó \[{u_n} = \frac{{{5^{{2^{n - 1}}}} - 1}}{{{2^{2n}}}}\]
 
Edit: Sai mất rồi

Tiếp nối chương trình
 
Công thức truy hồi đúng của dãy $(v_n)$ phải là: \[\frac{{{v_{n + 1}} - 1}}{2} + 1 = v_n^2 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 2v_n^2 - 1 \quad (2)\]
Hệ thức này làm ta liên tưởng tới các hàm lượng giác, và vì dãy $(v_n)$ tăng ngặt và $v_n > 1$, ta sẽ liên tưởng tới hàm lượng giác hyperbol, cụ thể là $\cosh$ với công thức $\cosh 2x = 2{\cosh ^2}x - 1$.
Do hàm $\cosh$ tăng ngặt và liên tục trên $\mathbb{R}^+$ nên ta có thể đặt $v_n = \cosh w_n$ với $w_n > 0$. Khi ấy
\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \cosh {w_{n + 1}} = 2{\cosh ^2}{w_n} - 1 = \cosh 2{w_n} \Leftrightarrow {w_{n + 1}} = 2{w_n} \Rightarrow w_{n} = 2^{n-1} w_1\]
Lại có \[{w_1} = {\rm{arcosh}}\left( 5 \right) = 2\ln \left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)\]
Từ đó
\[\begin{align*}
{v_n} & = \cosh {w_n} \\
& = \cosh \left( {{2^n}\ln\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)} \right) \\
& = \dfrac{{{e^{{2^n}\ln\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}} + {e^{ - {2^n}\ln\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}}}}{2} \\
& = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^{{2^n}}} + {{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^{ - {2^n}}}}}{2}\\
{u_n} & = \dfrac{{{v_n} - 1}}{{{2^{2n}}}} \\
& = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^{{2^n}}} + {{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}^{ - {2^n}}} - 2}}{{{2^{2n + 1}}}}
\end{align*}\]