Chủ đề này có 3 trả lời

[thuyyyy]

Tìm min,max của phân thức M=$\frac{x^{2}-8x+25}{x^{2}-6x+25}$

[ILikeMath22042001]

Biến đổi biểu thức trên được:

\[\begin{array}{c}
M = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}}\\
 \Leftrightarrow \left( {1 - M} \right){x^2} + \left( {6M - 8} \right)x + 25 - 25M = 0
\end{array}\]

Để phương trình trên có nghiệm.

\[\begin{array}{c}
\Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - 16{M^2} + 26M - 9 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le M \le \frac{9}{8}
\end{array}\]

Khi đó, $\min M = \frac{1}{2}$ và $\max M = \frac{9}{8}$.

Dấu "=" xảy ra khi:

+$\min M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 5$

+$\max M = \frac{9}{8} \Leftrightarrow x =  - 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 27-12-2022 - 15:47
LaTeX

[thuyyyy]

Biến đổi biểu thức trên được:

(1-M)x²+(6M-8)x+25-25M = 0

Để phương trình trên có nghiệm. denta' >= 0

<=> -16M²+26M-9 >= 0

<=> 1/2 <= M <= 9/8

Khi đó, minM = 1/2 và maxM = 9/8

Dấu "=" xảy ra khi:

+minM = 1/2 <=> giải pt được x = 5

+maxM = 9/8 <=> giải pt 

Có thể giải theo cách lớp 8 đc ko ???

[perfectstrong]

Biến đổi biểu thức trên được:

\[\begin{array}{c}
M = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}}\\
 \Leftrightarrow \left( {1 - M} \right){x^2} + \left( {6M - 8} \right)x + 25 - 25M = 0
\end{array}\]

Để phương trình trên có nghiệm.

\[\begin{array}{c}
\Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - 16{M^2} + 26M - 9 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le M \le \frac{9}{8}
\end{array}\]

Khi đó, $\min M = \frac{1}{2}$ và $\max M = \frac{9}{8}$.

Dấu "=" xảy ra khi:

+$\min M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 5$

+$\max M = \frac{9}{8} \Leftrightarrow x =  - 5$

Lời giải không cẩn thận ở chỗ: Nếu $M=1$ thì không có tam thức nào để bạn xét $\Delta$ cả.

Hơn nữa, để chặt chẽ, không được phép kết luận $\min, \max$ nếu chưa chỉ ra giá trị $x$ nào để $M$ đạt giá trị cần tìm.

 

Còn giải bằng lớp 8 thì có thể làm theo hướng sau:

\[M = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}} = 1 - \frac{{2x}}{{{x^2} - 6x + 25}}\]

Nếu $x=0$ thì $M=1$.

Nếu $x\ne 0$ thì \[M = 1 - \frac{2}{{x + \frac{{25}}{x} - 6}}\]

TH1: Nếu $x > 0$ thì theo BĐT Cauchy 2 số: \[x + \frac{{25}}{x} \ge 2\sqrt {x\frac{{25}}{x}}  = 10 \Rightarrow x + \frac{{25}}{x} - 6 \ge 4 > 0 \Rightarrow M \ge 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Dấu $=$ khi $x=\frac{25}{x} \Leftrightarrow x = 5$ (vì $x>0$).

TH2: Nếu $x < 0$ thì đặt $y = -x > 0$ và viết lại $M$: \[M = 1 + \frac{2}{{y + \frac{{25}}{y} + 6}}\]

Làm tương tự như trên: \[y + \frac{{25}}{y} \ge 10 \Rightarrow y + \frac{{25}}{y} + 6 \ge 16 > 0 \Rightarrow M \le 1 + \frac{2}{{16}} = \frac{9}{8}\]

Dấu $=$ khi $y=\frac{25}{y} \Leftrightarrow y = 5$ (vì $y > 0$) $\Leftrightarrow x = -5$.